Cho ${\log }_{27}5=a$, ${\log }_{3}7=b$ và ${\log }_{2}3=c$.

(AI giải đề cho tôi)
a) $a={\log }_{27}5=\frac{{\log }_{3}5}{3}$, mà $1<{\log }_{3}5<2$ nên $\frac{1}{3}<a<\frac{2}{3}\subset (0,1)$: đúng.
b) $bc={\log }_{3}7\cdot {\log }_{2}3=\frac{\ln 7}{\ln 3}\cdot \frac{\ln 3}{\ln 2}=\frac{\ln 7}{\ln 2}={\log }_{2}7\ne {\log }_{7}2$: sai.
c) ${\log }_{6}45=\frac{{\log }_{3}45}{{\log }_{3}6}=\frac{1+2{\log }_{3}5}{1+{\log }_{3}2}=\frac{1+6a}{1+c}$, khác $\frac{6ac+2c}{1+c}$: sai.
d) ${\log }_{6}35=\frac{{\log }_{2}35}{{\log }_{2}6}=\frac{{\log }_{2}5+{\log }_{2}7}{1+{\log }_{2}3}$. Ta có ${\log }_{2}5={\log }_{2}3\cdot {\log }_{3}5=3ac$, ${\log }_{2}7={\log }_{2}3\cdot {\log }_{3}7=bc$. Vậy ${\log }_{6}35=\frac{(3a+b)c}{1+c}$, tức $m=3,n=1,p=1$ nên $m^2+n^2+p^2=9+1+1=11$: đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
$a=\frac{{\log }_{3}5}{3}\in (1/3,2/3)$ nên $0<a<1$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$bc={\log }_{2}7$, không phải ${\log }_{7}2$.
c) (AI giải đề cho tôi)
${\log }_{6}45=\frac{1+6a}{1+c}$, khác biểu thức đã cho.
d) (AI giải đề cho tôi)
${\log }_{6}35=\frac{(3a+b)c}{1+c}$ với $m=3,n=1,p=1$ nên $m^2+n^2+p^2=11$.