Cho 3 số thực dương $a;b;c$ theo thứ tự lập thành cấp số nhân thoả $a+b+c=27$. Tính $A={\log }_3{\left(\frac{1}{ab+bc+ca}\right)}^3+{\log }_3(abc)$

(AI giải đề cho tôi)
Vì $a,b,c$ lập thành cấp số nhân nên $b^2=ac$. Theo AM-GM: $ab+bc+ca\ge 3\sqrt[3]{a^2{b}^2{c}^2}=3(abc{)}^{2/3}$ và $a+b+c\ge 3\sqrt[3]{abc}$, suy ra $abc\le 9^3=729$, dấu bằng khi $a=b=c=9$. Khi đó $ab+bc+ca=3\cdot 81=243=3^5$ và $abc=729=3^6$. Tính $A={\log }_3{\left(\frac{1}{243}\right)}^3+{\log }_3(729)={\log }_3(3^{-15})+{\log }_3(3^6)=-15+6=-9$. Vậy $A=-9$.