Cho biểu thức $\sqrt[3]{4\sqrt{2\sqrt[5]{8}}}=2^{\frac{m}{n}}$, trong đó $\frac{m}{n}$ là phân số tối giản. Gọi $P=m^2+n^2$. Khẳng định nào sau đây đúng ?

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\sqrt[5]{8}=2^{\frac{3}{5}}$, nên $2\sqrt[5]{8}=2^{1+\frac{3}{5}}=2^{\frac{8}{5}}$. Khi đó $\sqrt{2\sqrt[5]{8}}=2^{\frac{4}{5}}$, suy ra $4\sqrt{2\sqrt[5]{8}}=2^{2+\frac{4}{5}}=2^{\frac{14}{5}}$. Vậy $\sqrt[3]{4\sqrt{2\sqrt[5]{8}}}=2^{\frac{14}{15}}$, tức $m=14,n=15$ (phân số tối giản vì $\gcd (14,15)=1$). Do đó $P=m^2+n^2=196+225=421\in (420;425)$. Đáp án D.