Cho các số thực $a,b,c$ thuộc khoảng $(1;+\infty )$ và ${\log }_a^{2}b+{\log }_{b}c\cdot {\log }_b\left(\frac{c^2}{b}\right)+9{\log }_{a}c=4{\log }_{a}b$. Giá trị của biểu thức ${\log }_{a}b+{\log }_b{c}^2$ bằng

Ta có ${\log }_b\left(\frac{c^2}{b}\right)=2{\log }_{b}c-1$.
Phương trình đã cho trở thành:
${\log }_a^{2}b+{\log }_{b}c(2{\log }_{b}c-1)+9{\log }_{a}c=4{\log }_{a}b$
$\iff {\log }_a^{2}b+2{\log }_b^{2}c-{\log }_{b}c+9{\log }_{a}c=4{\log }_{a}b$.
Đặt $x={\log }_{a}b>0$ và $y={\log }_{b}c>0$ (vì $a,b,c>1$).
Khi đó ${\log }_{a}c={\log }_{a}b\cdot {\log }_{b}c=xy$.
Phương trình trở thành:
$x^2+2y^2-y+9xy=4x\iff x^2+(9y-4)x+2y^2-y=0$ hay $4x^2+(9y-4)x+2y^2-y=0$.
Theo giải chi tiết:
$4x^2+(9y-4)x+2y^2-y=0\iff (4x+y)(x+2y-1)=0$.
Vì $x>0,y>0$ nên $4x+y>0$, suy ra $x+2y-1=0\iff x+2y=1$.
Biểu thức cần tính là: ${\log }_{a}b+{\log }_b{c}^2={\log }_{a}b+2{\log }_{b}c=x+2y=1$.
Chọn A.