Cho các số thực $a,b>1$. Biết phương trình ${\log }_a(ax){\log }_b(bx)=2025$ có hai nghiệm thực phân biệt $x_1,x_2$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=x_1{x}_2\left(4a^2+9b^2\right)$.

Vì $a,b>1$ nên phương trình ${\log }_a(ax){\log }_b(bx)=2025$ có điều kiện xác định là $x>0$.

Ta có: ${\log }_a(ax){\log }_b(bx)=2025$

$$\iff \left({\log }_{a}x+1\right)\left({\log }_{b}a{\log }_{a}x+1\right)=2025$$

$$\iff {\log }_{b}a{\log }_a^{2}x+\left(1+{\log }_{b}a\right){\log }_{a}x-2024=0.$$

Đặt $t={\log }_{a}x$ ta được phương trình: $\left({\log }_{b}a\right)t^2+\left(1+{\log }_{b}a\right)t-2024=0(\ast )$.

Vì $a,b>1$ nên $-2024{\log }_{b}a<0$.

Suy ra phương trình $(\ast )$ có hai nghiệm phân biệt $t_1,t_2$.

Theo Vi-ét: $t_1+t_2=-\frac{1+{\log }_{b}a}{{\log }_{b}a}$

$$\iff {\log }_a{x}_1+{\log }_a{x}_2=-\frac{{\log }_b(ab)}{{\log }_{b}a}$$

$$\iff {\log }_a\left(x_1{x}_2\right)=-{\log }_a(ab)$$

$$\iff x_1{x}_2=\frac{1}{ab}.$$

Từ đó: $P=x_1{x}_2\left(4a^2+9b^2\right)=\frac{1}{ab}\left(4a^2+9b^2\right)\ge \frac{1}{ab}.2.6ab=12$.

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $2a=3b$.