Nghiệm âm lớn nhất của phương trình $\cos \left(4x-\frac{\pi }{6}\right)+{\sin }^{2}x={\cos }^{2}x$

Ta có: $\cos \left(4x-\frac{\pi }{6}\right)+{\sin }^{2}x={\cos }^{2}x\iff \cos \left(4x-\frac{\pi }{6}\right)={\cos }^{2}x-{\sin }^{2}x$

$$\iff \cos \left(4x-\frac{\pi }{6}\right)=\cos 2x\iff \left[\begin{array}{c}4x-\frac{\pi }{6}=2x+k2\pi \\ 4x-\frac{\pi }{6}=-2x+k2\pi \end{array}\right]\iff \left[\begin{array}{c}x=\frac{\pi }{12}+k\pi \\ x=\frac{\pi }{36}+k\frac{\pi }{3}\end{array}\right](k\in \mathbb{Z})$$

Ta có mỗi họ nghiệm lần lượt có các nghiệm âm lớn nhất là:

$$x_1=\frac{\pi }{12}-\pi =-\frac{11\pi }{12};x_2=\frac{\pi }{36}-\frac{\pi }{3}=-\frac{11\pi }{36}$$

Vậy nghiệm âm lớn nhất của phương trình là $x=-\frac{11}{36}\pi$.