Cho tứ diện đều $ABCD$ cạnh $a$. Hai điểm $M,N$ theo thứ tự thay đổi trên các đoạn $AB$ và $CD$ sao cho $BM=DN$. Gọi $m,n$ lần lượt là giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của $MN$. Giá trị của $m^2+n^2$ bằng:

Đặt $\frac{BM}{BA}=x$, với $0\le x\le 1\Rightarrow \frac{DN}{DC}=x$. Khi đó ta có: $\overrightarrow{BM}=x.\overrightarrow{BA}$ và $\overrightarrow{DN}=x.\overrightarrow{DC}$

Ta có: $\overrightarrow{DN}=x.\overrightarrow{DC}\iff \overrightarrow{BN}-\overrightarrow{BD}=x(\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{BD})\iff \overrightarrow{BN}=x.\overrightarrow{BC}+(1-x).\overrightarrow{BD}$

Do đó: $\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{BN}-\overrightarrow{BM}=x.\overrightarrow{BC}+(1-x).\overrightarrow{BD}-x.\overrightarrow{BA}$

$M{N}^2=x^2{a}^2+(1-x{)}^2{a}^2+x^2{a}^2+2x(1-x)\frac{a^2}{2}-2x^2.\frac{a^2}{2}-2x(1-x)\frac{a^2}{2}$

$=\left[x^2+(1-x{)}^2+x^2+x(1-x)-x^2-x(1-x)\right].a^2$

$=\left[2x^2-2x+1\right].a^2$

Xét hàm số $f(x)=2x^2-2x+1$ trên đoạn $[0;1]$ ta có:

$$\max f(x)=f(0)=f(1)=1,\min f(x)=f\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{2}$$

MN đạt giá trị nhỏ nhất bằng $n=\frac{a\sqrt{2}}{2}$ khi $M,N$ lần lượt là trung điểm của $AB$ và $CD$.

MN đạt giá trị lớn nhất bằng $m=a$ khi $M\equiv B,N\equiv D$ hoặc $M\equiv A,N\equiv C$.

Vậy $m^2+n^2=\frac{3a^2}{2}$.