Cho các số thực dương $x,y$ thỏa mãn ${\log }_{6}x={\log }_{9}y=\frac{1}{2}+{\log }_4\left(x+y\right)$. Giá trị của $\frac{x}{y}$ bằng

(AI giải đề cho tôi)
Đặt ${\log }_{6}x={\log }_{9}y=t$, suy ra $x=6^t,y=9^t$. Điều kiện trở thành $t=\frac{1}{2}+{\log }_4(x+y)$, tức $4^{t-\frac{1}{2}}=6^t+9^t$, hay $\frac{4^t}{2}=9^t(1+r)$ với $r=\frac{x}{y}={\left(\frac{6}{9}\right)}^t={\left(\frac{2}{3}\right)}^t$. Vì $4^t=2^{2t}={\left(\frac{2}{3}\right)}^{2t}\cdot 9^t=r^2\cdot 9^t$, thay vào: $\frac{r^2\cdot 9^t}{2}=9^t(1+r)\Rightarrow r^2=2(1+r)\Rightarrow r^2-2r-2=0$. Nghiệm dương $r=1+\sqrt{3}$ (nghiệm $1-\sqrt{3}<0$ loại). Vậy $\frac{x}{y}=\sqrt{3}+1$, chọn B.