Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình thoi, $AB=AC=10$, $SAD$ là tam giác đều và mặt phẳng $\left(SAD\right)$ vuông góc với mặt phẳng $\left(ABCD\right)$.

(AI giải đề cho tôi)
Đáy là hình thoi với AB=BC=10 và AC=10 nên tam giác ABC đều, góc ABC=60°, góc BAD=120°, đường chéo BD=10√3. Tam giác SAD đều cạnh 10, (SAD)⊥(ABCD) nên đường cao SH=5√3 (H trung điểm AD) vuông góc (ABCD). Chọn tọa độ: A(0;0;0), B(10;0;0), D(−5;5√3;0), C(5;5√3;0), H(−5/2;5√3/2;0), S(−5/2;5√3/2;5√3).
a) Diện tích đáy S_ABCD = ½·AC·BD = ½·10·10√3 = 50√3. V = (1/3)·50√3·5√3 = 250. ĐÚNG.
b) d(A,BC) = 5√3 (tam giác đều). Tính d(S,BC): BC=(−5;5√3;0), SB vector S−B=(−25/2;5√3/2;5√3), tích có hoá BC×(S−B)=(75;25√3;50√3), chuẩn = 50√6, nên d(S,BC)=50√6/10=5√6. Góc nhị diện φ thỏa sinφ = h_S/d(S,BC) = 5√3/(5√6) = 1/√2, vậy φ = 45°, không nhỏ hơn 45°. SAI.
c) d(B,(SAD)) = d(B,AD) trong mặt đáy = 5√3. SB = √(156,25+18,75+75) = 5√10. sinα = 5√3/(5√10) = √30/10. ĐÚNG.
d) M=(10/3;0;0). u=SM=(35/6;−5√3/2;−5√3), v=BC∼(−1;√3;0). u×v=(15;5√3;10√3/3), |u×v|=10√30/3. (S−B)·(u×v) = −375/2+75/2+50 = −100. Khoảng cách = 100/(10√30/3) = 30/√30 = √30. ĐÚNG.
a) (AI giải đề cho tôi)
V = (1/3)·50√3·5√3 = 250.
b) (AI giải đề cho tôi)
sinφ = 5√3/5√6 = 1/√2 nên φ = 45°, không nhỏ hơn 45°.
c) (AI giải đề cho tôi)
sinα = d(B,(SAD))/SB = 5√3/(5√10) = √30/10.
d) (AI giải đề cho tôi)
Khoảng cách SM và BC = |(S−B)·(u×v)|/|u×v| = 100/(10√30/3) = √30.