Cho đường cong $(C):y=\frac{3x+1}{1-x}$.
a) Viết phương trình tiếp tuyến của $(C)$ biết tiếp tuyến song song với đường thẳng $(d):x-4y-21=0$.
b) Viết phương trình tiếp tuyến của $(C)$ biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng $(\Delta ):2x+2y-9=0$.

(AI giải đề cho tôi)
$y=\frac{3x+1}{1-x}$, TXĐ $x\ne 1$. $y^{\prime }=\frac{3(1-x)+(3x+1)}{(1-x{)}^2}=\frac{4}{(1-x{)}^2}$.

a) $(d):x-4y-21=0$ có hệ số góc $\frac{1}{4}$. Tiếp tuyến song song với $(d)$ khi $y^{\prime }=\frac{1}{4}\iff \frac{4}{(1-x{)}^2}=\frac{1}{4}\iff (1-x{)}^2=16\iff x=5$ hoặc $x=-3$.
- $x=5$: $y=\frac{16}{-4}=-4$, tiếp tuyến: $y=-4+\frac{1}{4}(x-5)=\frac{x}{4}-\frac{21}{4}$, tức $x-4y-21=0$.
- $x=-3$: $y=\frac{-8}{4}=-2$, tiếp tuyến: $y=-2+\frac{1}{4}(x+3)=\frac{x}{4}-\frac{5}{4}$, tức $x-4y-5=0$.

b) $(\Delta ):2x+2y-9=0\iff y=-x+\frac{9}{2}$ có hệ số góc $-1$. Tiếp tuyến vuông góc với $(\Delta )$ có hệ số góc $1$: $\frac{4}{(1-x{)}^2}=1\iff (1-x{)}^2=4\iff x=3$ hoặc $x=-1$.
- $x=3$: $y=\frac{10}{-2}=-5$, tiếp tuyến: $y=-5+(x-3)=x-8$.
- $x=-1$: $y=\frac{-2}{2}=-1$, tiếp tuyến: $y=-1+(x+1)=x$.

Kiểm tra: các phương trình đều thỏa đi qua điểm tiếp xúc và có hệ số góc đúng ($1/4$ và $1$).