Cho hàm số $y=\cot 2x$. Chứng minh rằng: $y^{\prime }+2y^2+2=0$

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\cot 2x$ xác định với $\sin 2x\ne 0$. Ta có $y^{\prime }=(\cot 2x{)}^{\prime }=(-2)\cdot \frac{1}{{\sin }^{2}2x}=-\frac{2}{{\sin }^{2}2x}$. Mặt khác $y^2={\cot }^{2}2x=\frac{{\cos }^{2}2x}{{\sin }^{2}2x}$. Do đó $y^{\prime }+2y^2+2=-\frac{2}{{\sin }^{2}2x}+\frac{2{\cos }^{2}2x}{{\sin }^{2}2x}+2=\frac{-2+2{\cos }^{2}2x+2{\sin }^{2}2x}{{\sin }^{2}2x}=\frac{-2+2({\cos }^{2}2x+{\sin }^{2}2x)}{{\sin }^{2}2x}=\frac{-2+2}{{\sin }^{2}2x}=0$. Vậy $y^{\prime }+2y^2+2=0$ (đpcm).