Cho đường cong $(C):y=f(x)=x^3-3x^2$. Viết phương trình tiếp tuyến của $(C)$ trong các trường hợp sau:
a) Tại điểm $M_0(1;-2)$.
b) Tại điểm thuộc $(C)$ và có hoành độ $x_0=-1$.
c) Tại giao điểm của $(C)$ với trục hoành.
d) Biết tiếp tuyến đi qua điểm $A(-1;-4)$.

(AI giải đề cho tôi)
Cho $(C):y=f(x)=x^3-3x^2$, ta có $f^{\prime }(x)=3x^2-6x=3x(x-2)$.

a) Tại $M_0(1;-2)$: kiểm tra $f(1)=1-3=-2$ nên $M_0\in (C)$. $f^{\prime }(1)=3-6=-3$. Phương trình tiếp tuyến: $y=f^{\prime }(1)(x-1)+f(1)=-3(x-1)-2=-3x+1$.

b) Tại điểm có hoành độ $x_0=-1$: $f(-1)=-1-3=-4$, $f^{\prime }(-1)=3+6=9$. Tiếp tuyến: $y=9(x+1)-4=9x+5$.

c) Giao điểm của $(C)$ với trục hoành: $x^3-3x^2=0\iff x^2(x-3)=0\iff x=0$ hoặc $x=3$.
- Tại $x=0$: $f(0)=0$, $f^{\prime }(0)=0$ → tiếp tuyến $y=0$ (trục hoành).
- Tại $x=3$: $f(3)=27-27=0$, $f^{\prime }(3)=27-18=9$ → tiếp tuyến $y=9(x-3)$, tức $y=9x-27$.

d) Tiếp tuyến tại $x_0$ có phương trình $y=(3x_0^2-6x_0)(x-x_0)+x_0^3-3x_0^2$. Để đi qua $A(-1;-4)$:
$$-4=(3x_0^2-6x_0)(-1-x_0)+x_0^3-3x_0^2=-2x_0^3+6x_0$$
$$\iff x_0^3-3x_0-2=0\iff (x_0-2)(x_0+1{)}^2=0\iff x_0=-1\text{ hoặc }{x}_0=2.$$
- Với $x_0=-1$ (do $A\in (C)$): $y=9x+5$.
- Với $x_0=2$: $f(2)=8-12=-4$, $f^{\prime }(2)=12-12=0$ → tiếp tuyến $y=-4$ (kiểm tra: đi qua $A(-1;-4)$).

Vậy có hai tiếp tuyến qua $A$: $y=9x+5$ và $y=-4$.