Xét tính đồng biến, nghịch biến và vẽ đồ thị các hàm số sau:
a) $y={\frac{1}{2}}^x$ ;
b) $y=2^x$ ;
c) $y={\log }_{\frac{1}{2}}x$ ;
d) $y={\log }_{\sqrt{2}}x$ . (Ghi chú: trong bản gốc, mục cuối được in nhãn 'b)' — nhiều khả năng là lỗi in của nhãn 'd)'.)

Giải các phương trình sau:
1) $3^{x-1}=9$. 2) $7^{2x^2+5x+4}=49$. 3) ${\left(\frac{3}{2}\right)}^{x^2-x-5}={\left(\frac{2}{3}\right)}^{2x+3}$. 4) $2^{\sqrt{-x^2+2x+4}-x+4}=4$.

Giải các phương trình sau:
1) ${\log }_{3}x=4$. 2) $\log (x-1{)}^2=2$. 3) ${\log }_5\sqrt{x^2-3x+1}=1$.
4) ${\log }_2\left(\sqrt{x^2-x+1}+\sqrt{x+1}\right)={\log }_2(x+2)$. 5) ${\log }_3(2x+1)-{\log }_3(x-1)=1$.

Giải các bất phương trình sau:
a) $0,5^{2-x}>0,5^{4-2x}$; b) $\frac{2}{5^{2x+1}}\le 5$; c) ${\left(\frac{7}{3}\right)}^{x-1}\le {\left(\frac{3}{7}\right)}^{2-5x}$; d) $3.6^{2x-1}\ge 5$.
e) ${\log }_{\frac{1}{2}}(2x-7)\ge -1$; f) $2\log (2x-1)\le 5$ g) ${\log }_{\frac{1}{5}}(x+5)>{\log }_5(2-6x)$; h) $\ln (x+1)>0$.

Với $a$ là số thực dương tùy ý, $a^4.a^{\frac{1}{2}}$ bằng

Cho $a$ là một số thực dương. Giá trị của biểu thức $P={\left(\sqrt{2^a}\right)}^{\frac{4}{a}}$ bằng

Rút gọn biểu thức $P=x^{\frac{2}{5}}.\sqrt[6]{x}$ với $x>0$.

Cho $0<a\ne 1$, $x>0$. Mệnh đề nào sau đây là sai?

Cho ba số thực dương $a,b,c$ và $a\ne 1$. Khẳng định nào sau đây là sai?

Cho $a$, $b$ là các số thực dương tùy ý. Khẳng định nào sau đây là đúng?

Cho $a$ là số thực dương khác 1. Mệnh đề nào sau đây đúng với mọi số thực dương $x,y$?

Giá trị của biểu thức $4^{{\log }_2\sqrt{3}}$ bằng

Cho ${\log }_{a}x=3,{\log }_{b}x=4$ với $a,b$ là các số thực lớn hơn 1. Tính $P={\log }_{ab}x$.

Số nghiệm thực của phương trình $2^{x^2+1}=4$ là

Tập nghiệm của phương trình ${\log }_2\left(x^2-x+2\right)=1$ là:

Tìm tập nghiệm $S$ của phương trình ${\log }_{\sqrt{2}}(x-1)+{\log }_{\frac{1}{2}}(x+1)=1$.

Tập nghiệm của bất phương trình ${\log }_5(x+1)>2$ là:

Tập nghiệm của bất phương trình $5^{x-1}\ge 5^{x^2-x-9}$ là

Tập nghiệm của bất phương trình ${\log }_3\left(13-x^2\right)\ge 2$ là

Cho biểu thức $\sqrt[5]{2\cdot \sqrt[3]{2\cdot \sqrt{2}}}=2^{\frac{a}{b}}$ và $\sqrt[8]{3\cdot \sqrt[3]{3\cdot \sqrt{3}}}=3^{\frac{m}{n}}$ trong đó $(\frac{a}{b},\frac{m}{n}$ là các phân số tối giản$)$, khi đó:

Các mệnh đề sau đúng hay sai?

Cho biểu thức $A={\log }_2{x}^2+{\log }_{\frac{1}{2}}{x}^3+{\log }_{4}x$. Vậy:

Các mệnh đề sau đúng hay sai?

Các mệnh đề sau đúng hay sai?

Các mệnh đề sau đúng hay sai?

Cho hàm số $y=\frac{1}{3^x}$.

Các mệnh đề sau đúng hay sai?

Gieo hai đồng xu A và B một cách độc lập. Đồng xu A chế tạo cân đối. Đồng xu B chế tạo không cân đối nên xác suất xuất hiện mặt sấp gấp 3 lần xác suất xuất hiện mặt ngửa. Tính xác suất để:
a) Khi gieo 2 đồng xu một lần thì cả hai đều ngửa.
b) Khi gieo 2 lần thì 2 lần cả hai đồng xu đều lật ngửa.

Gieo đồng thời 2 con súc sắc cân đối đồng chất, một con màu đỏ và một con màu xanh. Tính xác suất của các biến cố sau:
a) Biến cố A "Con đỏ xuất hiện mặt 6 chấm".
b) Biến cố B "Con xanh xuất hiện mặt 6 chấm".
c) Biến cố C "Ít nhất một con suất hiện mặt 6 chấm".
d) Biến cố D "Không có con nào xuất hiện mặt 6 chấm".
e) Biến cố E "Tổng số chấm xuất hiện trên hai con bằng 8".
f) Biến cố F "Số chấm suất hiện trên hai con súc sắc hơn kém nhau 2".

Từ một hộp có 18 bóng đèn, trong đó có 3 bóng hỏng, lấy ngẫu nhiên 5 bóng ra khỏi hộp. Tính xác suất sao cho:
a) Có nhiều nhất 2 bóng hỏng.
b) Có ít nhất 1 bóng tốt.

Hai bệnh nhân $X$ và $Y$ bị nhiễm vi rút SARS-CoV-2. Biết rằng xác suất bị biến chứng nặng của bệnh nhân $X$ là 0,1 và của bệnh nhân $Y$ là 0,2. Khả năng bị biến chứng nặng của hai bệnh nhân là độc lập. Hãy tính xác suất của các biến cố:
a) “Cả hai bệnh nhân đều bị biến chứng nặng”;
b) “Cả hai bệnh nhân đều không bị biến chứng nặng”;
c) “Bệnh nhân $X$ bị biến chứng nặng, bệnh nhân $Y$ không bị biến chứng nặng”.

Ba người cùng bắn vào 1 bia. Xác suất để người thứ nhất, thứ hai, thứ ba bắn trúng đích lần lượt là 0,8 ; 0,6 ; 0,5. Tính xác suất để có đúng 2 người bắn trúng đích.

Ổ lúa, hạt gạo đục là tính trạng trội hoàn toàn so với hạt gạo trong. Cho cây lúa có hạt gạo đục thuần chủng thụ phấn với cây lúa có hạt gạo trong được F1 toàn hạt gạo đục. Tiếp tục cho các cây lúa F1 thụ phấn với nhau và thu được các hạt gạo mới. Lần lượt chọn ra ngẫu nhiên 2 hạt gạo mới, tính xác suất của biến cố "Có đúng 1 hạt gạo đục trong 2 hạt gạo được lấy ra".

Một con súc sắc không đồng chất sao cho mặt bốn chấm xuất hiện nhiều gấp 3 lần mặt khác, các mặt còn lại đồng khả năng. Tìm xác suất để xuất hiện một mặt chẵn

Gieo một con xúc sắc 4 lần. Tìm xác suất của biến cố A: “Mặt 4 chấm xuất hiện ít nhất một lần”

Một hộp đựng 4 viên bi xanh, 3 viên bi đỏ và 2 viên bi vàng. Chọn ngẫu nhiên 2 viên bi:
1. Tính xác suất để chọn được 2 viên bi cùng màu
2. Tính xác suất để chọn được 2 viên bi khác màu

Phần 2:
A. $P(\overline{X})=\frac{13}{18}$
B. $P(\overline{X})=\frac{5}{18}$
C. $P(\overline{X})=\frac{3}{18}$
D. $P(\overline{X})=\frac{11}{18}$

Xác suất sinh con trai trong mỗi lần sinh là 0,51. Tìm các suất sao cho 3 lần sinh có ít nhất 1 con trai

Hai cầu thủ sút phạt đền. Mỗi người đá 1 lần với xác suất làm bàn tương ứng là 0,8 và 0,7. Tính xác suất để có ít nhất 1 cầu thủ làm bàn

Một người bắn liên tiếp vào một mục tiêu khi viên đạn trúng mục tiêu thì thôi (các phát súng độc lập nhau). Biết rằng xác suất trúng mục tiêu của mỗi lần bắn như nhau và bằng 0,6. Tính xác suất để bắn đến viên thứ 4 thì ngừng bắn

Một cặp vợ chồng mong muốn sinh bằng được sinh con trai ( Sinh được con trai rồi thì không sinh nữa, chưa sinh được thì sẽ sinh nữa ). Xác suất sinh được con trai trong một lần sinh là 0,51 . Tìm xác suất sao cho cặp vợ chồng đó mong muốn sinh được con trai ở lần sinh thứ 2.

Chọn ngẫu nhiên một vé xổ số có 5 chữ số được lập từ các chữ số từ 0 đến 9. Tính xác suất của biến cố X: “lấy được vé không có chữ số 2 hoặc chữ số 7”

Cho ba hộp giống nhau, mỗi hộp 7 bút chỉ khác nhau về màu sắc
Hộp thứ nhất : Có 3 bút màu đỏ, 2 bút màu xanh, 2 bút màu đen
Hộp thứ hai : Có 2 bút màu đỏ, 2 màu xanh, 3 màu đen
Hộp thứ ba : Có 5 bút màu đỏ, 1 bút màu xanh, 1 bút màu đen
Lấy ngẫu nhiên một hộp, rút hũ họa từ hộp đó ra 2 bút
Tính xác suất của biến cố A: “Lấy được hai bút màu xanh”

Một chiếc máy có hai động cơ I và II hoạt động độc lập với nhau. Xác suất để động cơ I và động cơ II chạy tốt lần lượt là 0,8 và 0,7 . Hãy tính xác suất để
1. Cả hai động cơ đều chạy tốt ;
A. $P(C)=0,56$ B. $P(C)=0,55$ C. $P(C)=0,58$ D. $P(C)=0,50$
2. Cả hai động cơ đều không chạy tốt;
A. $P(D)=0,23$ B. $P(D)=0,56$ C. $P(D)=0,06$ D. $P(D)=0,04$
3. Có ít nhất một động cơ chạy tốt.
A. $P(K)=0,91$ B. $P(K)=0,34$ C. $P(K)=0,12$ D. $P(K)=0,94$

Cho $A,B$ là hai biến cố độc lập và $P(A)=\frac{1}{4},P(B)=\frac{1}{3}$ . Khi đó:

Các mệnh đề sau đúng hay sai?

Trên một bảng quảng cáo, người ta mắc hai hệ thống bóng đèn. Hệ thống $I$ gồm 2 bóng mắc nối tiếp, hệ thống II gồm 2 bóng mắc song song. Khả năng bị hỏng của mỗi bóng đèn sau 6 giờ thắp sáng liên tục là 0,15 . Biết tình trạng của mỗi bóng đèn là độc lập. Các mệnh đề sau đúng hay sai?

Ba người cùng bắn vào 1 bia. Xác suất bắn trúng đích của người thứ nhất, thứ hai, thứ ba lần lượt là $0,7;0,6;0,8$. Khi đó:

Các mệnh đề sau đúng hay sai?

Một lớp học có 40 học sinh, trong đó có 18 học sinh tham gia môn bóng đá và 10 học sinh tham gia môn bóng chuyền, trong đó có 6 học sinh tham gia cả hai môn bóng đá và bóng chuyền. Thầy giáo chọn ngẫu nhiên một học sinh từ lớp học để làm nhiệm vụ đặc biệt, gọi $A$ là biến cố: "Chọn được một học sinh tham gia môn bóng đá", $B$ là biến cố: "Chọn được một học sinh tham gia môn bóng chuyền". Khi đó:

Các mệnh đề sau đúng hay sai?

Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) $y=\left(x^2+3x\right)(2-x)$. b) $y=x^2\sqrt{x}$ c) $y=\frac{2x-1}{4x-3}$ d) $y=\frac{2x+10}{4x-3}$

e) $y=\frac{x^2-3x+3}{x-1}$ f) $y=\frac{2x^2-4x+1}{x-3}$ g) $y=\sqrt{x-1}+\frac{1}{\sqrt{x-1}}$ h) $y={\left(\sqrt{x}-\frac{1}{\sqrt{x}}\right)}^5$

Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) $y=x\cos x$ b) $y={\sin }^3(2x+1)$ c) $y=\sin \sqrt{2+x^2}$ d) $y=\sqrt{\sin x+2x}$

e) $y=\sin \left({\cos }^{2}x\right)$ f) $y=\frac{1}{{\cos }^{2}x-{\sin }^{2}x}$ g) $y=\sin x.\cos 2x$ h) $y={\left({\cos }^{4}x-{\sin }^{4}x\right)}^5$

1). Cho $f(x)=\frac{1}{x}+\frac{2}{x^2}+\frac{3}{x^3}$. Tính $f^{\prime }(-1)$.

2). Cho $f(x)=x^5+x^3-2x-3$. Tính $f^{\prime }(1)+f^{\prime }(-1)+4f(0)$

3). Cho $f(x)=\frac{x}{\sqrt{4-x^2}}$. Tính $f^{\prime }(0)$

Cho hàm số $y=\cot 2x$. Chứng minh rằng: $y^{\prime }+2y^2+2=0$

Cho đường cong $(C):y=f(x)=x^3-3x^2$. Viết phương trình tiếp tuyến của $(C)$ trong các trường hợp sau:
a) Tại điểm $M_0(1;-2)$.
b) Tại điểm thuộc $(C)$ và có hoành độ $x_0=-1$.
c) Tại giao điểm của $(C)$ với trục hoành.
d) Biết tiếp tuyến đi qua điểm $A(-1;-4)$.

Cho đường cong $(C):y=\frac{3x+1}{1-x}$.
a) Viết phương trình tiếp tuyến của $(C)$ biết tiếp tuyến song song với đường thẳng $(d):x-4y-21=0$.
b) Viết phương trình tiếp tuyến của $(C)$ biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng $(\Delta ):2x+2y-9=0$.

Cho hàm số $y=\frac{4}{x-1}$. Khi đó $y^{\prime }(-1)$ bằng

Tính đạo hàm của hàm số $f(x)=\frac{2x+7}{x+4}$ tại $x=2$ ta được:

Cho $f(x)=x^5+x^3-2x-3$. Tính $f^{\prime }(1)+f^{\prime }(-1)+4f^{\prime }(0)$?

Đạo hàm của hàm số $y=\frac{x^4}{2}+\frac{5x^3}{3}-\sqrt{2x}+a^2$ ($a$ là hằng số) bằng.

Cho hàm số $f(x)=\sqrt{x^2+3}$. Tính giá trị của biểu thức $S=f(1)+4f^{\prime }(1)$.

Cho hàm số $f(x)=-x^3+3m{x}^2-12x+3$ với $m$ là tham số thực. Số giá trị nguyên của $m$ để $f^{\prime }(x)\le 0$ với $\forall x\in \mathbb{R}$ là

Tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y=\frac{x+1}{2x-3}$ tại điểm có hoành độ $x_0=-1$ có hệ số góc bằng

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y=x^4-4x^2+5$ tại điểm có hoành độ $x=-1$.

Cho hàm số $f(x)=x^3-3x^2$, tiếp tuyến song song với đường thẳng $y=9x+5$ của đồ thị hàm số là:

Cho chuyển động được xác định bởi phương trình $s=2t^3+6t^2-t$, trong đó $t$ được tính bằng giây và $s$ được tính bằng mét. Vận tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm $t=3s$ là:

Một chất điểm chuyển động có phương trình chuyển động là $S(t)=\frac{1}{3}{t}^3-2t^2+3t-1$ ($t$ được tính bằng giây, $s$ tính bằng mét). Vận tốc tức thời của chất điểm tại thời điểm $t=4$ là

Một vật chuyển động trong 1 giờ với vận tốc $v$ phụ thuộc vào thời gian $t$ có đồ thị vận tốc như hình bên. Trong khoảng thời gian 1 giờ kể từ khi bắt đầu chuyển động, đồ thị đó là một phần của đường parabol có đỉnh $I\left(\frac{1}{2};8\right)$ và trục đối xứng song song với trục tung. Tính gia tốc của vật lúc $t=0,25(h)$

Cho hàm số $y=\frac{x-2}{x+1}$. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số trên tại điểm có hoành độ $x_0=0$.

Tính đạo hàm cấp hai của hàm số $y=-3\cos x$ tại điểm $x_0=\frac{\pi }{2}$.

Phương trình chuyển động của một chất điểm được biểu thị bởi công thức $S(t)=4-2t+4t^2+2t^3$, trong đó $t>0$ và $t$ tính bằng giây $(s)$, $S(t)$ tính bằng mét $(m)$. Tìm gia tốc $a$ của chất điểm tại thời điểm $t=5(s)$.

Dùng định nghĩa để tính đạo hàm của hàm số $y=f(x)=x^2+2x$ tại điểm $x_0=1$. Khi đó, các mệnh đề sau đúng hay sai?

Dùng định nghĩa để tính đạo hàm của hàm số $f(x)=\frac{x-2}{x+1}$ tại điểm $x_0=0$ ta được $f^{\prime }(0)=a$. Khi đó, các mệnh đề sau đúng hay sai?

Cho hàm số $y=f(x)=2x^3$ có đồ thị $(C)$ và điểm $M$ thuộc $(C)$ có hoành độ $x_0=-1$. Khi đó, các mệnh đề sau đúng hay sai?

Cho hàm số $y=x^2+3x+1$ có đồ thị $(C)$. Viết được phương trình tiếp tuyến của $(C)$ tại giao điểm của $(C)$ với trục tung. Khi đó, các mệnh đề sau đúng hay sai?

Các mệnh đề sau đúng hay sai?

Cho tứ diện đều $ABCD$ cạnh $a$, $M$ là trung điểm của cạnh $BC$. Tính góc giữa hai đường thẳng $AB$ và $DM$.

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật, cạnh bên $SA$ vuông góc với mặt đáy. Gọi $H,K$ lần lượt là hình chiếu của $A$ lên $SB,SD$.
a) Chứng minh: $AK\perp (SCD),AH\perp (SBC)$. b) Chứng minh $SC\perp (AHK)$.

Cho hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$.
a) Chứng minh $A{C}^{\prime }\perp (A^{\prime }BD)$. b) Chứng minh $A{C}^{\prime }\perp (C{B}^{\prime }{D}^{\prime })$.

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật $AB=a$, cạnh bên $SA$ vuông góc với đáy và $SA=a$. Góc giữa hai mặt phẳng $(SBC)$ và $(SAD)$ bằng

Cho tứ diện $OABC$ có $OA,OB,OC$ đôi một vuông góc và $OB=OC=a\sqrt{6},OA=a$. Tính góc giữa hai mặt phẳng $(ABC)$ và $(OBC)$.

Cho hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$. Tính $cosin$ góc giữa hai mặt phẳng $(C{B}^{\prime }{D}^{\prime })$ và $(ABCD)$

Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $C$, $SAC$ là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng $(ABC)$. Chứng minh rằng $(SBC)\perp (SAC)$.

Cho hình chóp $S.ABC$ có $SA$ vuông góc với mặt phẳng $(ABC)$, $\Delta ABC$ là tam giác đều cạnh bằng $a$, $SA=2a$. Khoảng cách từ $C$ đến mặt phẳng $(SAB)$ bằng

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thang, $\widehat{ABC}=\widehat{BAD}=90^o$, $BA=BC=a$; $AD=2a$. Cạnh bên $SA$ vuông góc với đáy. Góc tạo bởi giữa $SC$ và $(SAD)$ bằng $30^o$. Tính khoảng cách từ $A$ đến $(SCD)$.

Cho hình chóp $S.ABCD$ đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh bằng $a$; cạnh bên $SA$ vuông góc với đáy; $SC$ hợp với đáy góc $45^o$. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $SC$ và $BD$.

Cho hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$. Góc giữa hai đường thẳng $B{A}^{\prime }$ và $CD$ bằng

Cho hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$. Góc giữa hai đường thẳng $AB$ và $A^{\prime }{C}^{\prime }$ bằng

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình thoi tâm $O$ và $SA=SC$, $SB=SD$. Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào sai?