Cho tứ diện đều $ABCD$ cạnh $a$, $M$ là trung điểm của cạnh $BC$. Tính góc giữa hai đường thẳng $AB$ và $DM$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì tam giác $BCD$ đều nên $DM\perp BC$; tam giác $ABC$ đều nên $AM\perp BC$. Đặt hệ tọa độ: $B(0;0;0)$, $C(a;0;0)$, $A\left(\frac{a}{2};\frac{a\sqrt{3}}{2};0\right)$, $M\left(\frac{a}{2};0;0\right)$, $D\left(\frac{a}{2};\frac{a\sqrt{3}}{6};a\sqrt{\frac{2}{3}}\right)$ (tâm tam giác đều $BCD$).
Ta có $\overrightarrow{AB}=\left(-\frac{a}{2};-\frac{a\sqrt{3}}{2};0\right)$, $|\overrightarrow{AB}|=a$; $\overrightarrow{DM}=\left(0;-\frac{a\sqrt{3}}{6};-a\sqrt{\frac{2}{3}}\right)$, $|\overrightarrow{DM}|=a\sqrt{\frac{3}{36}+\frac{2}{3}}=a\sqrt{\frac{3}{4}}=\frac{a\sqrt{3}}{2}$ (đúng bằng trung tuyến tam giác đều cạnh $a$).
Tích vô hướng: $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{DM}=0+\frac{a\sqrt{3}}{2}\cdot \frac{a\sqrt{3}}{6}+0=\frac{a^2}{4}$.
Suy ra $\cos (AB,DM)=\frac{a^2/4}{a\cdot \frac{a\sqrt{3}}{2}}=\frac{1}{2\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{6}$.
Vậy góc giữa $AB$ và $DM$ bằng $\arccos \frac{\sqrt{3}}{6}\approx 73,2^{\circ }$.