Cho hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$.
a) Chứng minh $A{C}^{\prime }\perp (A^{\prime }BD)$. b) Chứng minh $A{C}^{\prime }\perp (C{B}^{\prime }{D}^{\prime })$.

(AI giải đề cho tôi)
a) Trong đáy $ABCD$ (hình vuông) có $AC\perp BD$. Cạnh bên $A{A}^{\prime }\perp (ABCD)$ nên $A{A}^{\prime }\perp BD$. Vì $BD$ vuông góc với $AC$ và $A{A}^{\prime }$ (hai đường thẳng cắt nhau trong mặt phẳng $(AC{C}^{\prime }{A}^{\prime })$) nên $BD\perp (AC{C}^{\prime }{A}^{\prime })$, suy ra $BD\perp A{C}^{\prime }$.

Xét mặt bên $AB{B}^{\prime }{A}^{\prime }$ (hình vuông) có $A{B}^{\prime }\perp B{A}^{\prime }$. Vì $BC\perp (AB{B}^{\prime }{A}^{\prime })$ nên $BC\perp A{B}^{\prime }$. Do đó $A{B}^{\prime }\perp (A^{\prime }BC)$ (vì $A{B}^{\prime }$ vuông góc với $B{A}^{\prime }$ và $BC$ cắt nhau tại $B$ trong $(A^{\prime }BC)$), suy ra $A{B}^{\prime }\perp A{C}^{\prime }$.

Vậy $A{C}^{\prime }$ vuông góc với $BD$ và $A^{\prime }B$ — hai đường thẳng cắt nhau tại $B$ trong mặt phẳng $(A^{\prime }BD)$ — nên $A{C}^{\prime }\perp (A^{\prime }BD)$.

b) Xét đường thẳng $B^{\prime }{D}^{\prime }$: trong đáy trên $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ (hình vuông) có $B^{\prime }{D}^{\prime }\perp A^{\prime }{C}^{\prime }$. Vì $A{A}^{\prime }\perp (A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime })$ nên $A{A}^{\prime }\perp B^{\prime }{D}^{\prime }$. Vì $B^{\prime }{D}^{\prime }$ vuông góc với $A^{\prime }{C}^{\prime }$ và $A{A}^{\prime }$ (hai đường thẳng cắt nhau trong $(AC{C}^{\prime }{A}^{\prime })$) nên $B^{\prime }{D}^{\prime }\perp (AC{C}^{\prime }{A}^{\prime })$, suy ra $B^{\prime }{D}^{\prime }\perp A{C}^{\prime }$.

Xét đường thẳng $C{B}^{\prime }$: trong mặt bên $BC{C}^{\prime }{B}^{\prime }$ (hình vuông) có $C{B}^{\prime }\perp B{C}^{\prime }$. Vì $A^{\prime }B\perp BC$ (do $AB\perp BC$) và $A^{\prime }B\perp B{B}^{\prime }$ (do $AB\perp B{B}^{\prime }$) nên $A^{\prime }B\perp (BC{C}^{\prime }{B}^{\prime })$, suy ra $A^{\prime }B\perp C{B}^{\prime }$. Vì $C{B}^{\prime }$ vuông góc với $B{C}^{\prime }$ và $A^{\prime }B$ (hai đường thẳng cắt nhau trong mặt phẳng $(A^{\prime }B{C}^{\prime })$) nên $C{B}^{\prime }\perp (A^{\prime }B{C}^{\prime })$, suy ra $C{B}^{\prime }\perp A{C}^{\prime }$.

Vậy $A{C}^{\prime }$ vuông góc với $B^{\prime }{D}^{\prime }$ và $C{B}^{\prime }$ — hai đường thẳng cắt nhau tại $B^{\prime }$ trong mặt phẳng $(C{B}^{\prime }{D}^{\prime })$ — do đó $A{C}^{\prime }\perp (C{B}^{\prime }{D}^{\prime })$.

Kiểm tra bằng tọa độ (cạnh 1): $A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,1,0),D(0,1,0),A^{\prime }(0,0,1),B^{\prime }(1,0,1),C^{\prime }(1,1,1),D^{\prime }(0,1,1)$. $\overrightarrow{A{C}^{\prime }}=(1,1,1)$: $\overrightarrow{A{C}^{\prime }}\cdot \overrightarrow{BD}=(1,1,1)\cdot (-1,1,0)=0$; $\overrightarrow{A{C}^{\prime }}\cdot \overrightarrow{A^{\prime }B}=(1,0,-1)\Rightarrow 1+0-1=0$; $\overrightarrow{A{C}^{\prime }}\cdot \overrightarrow{B^{\prime }{D}^{\prime }}=(-1,1,0)\Rightarrow 0$; $\overrightarrow{A{C}^{\prime }}\cdot \overrightarrow{C{B}^{\prime }}=(0,-1,1)\Rightarrow 0$. Cả hai kết luận đều đúng.