Cho hình chóp $S.ABCD$ đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh bằng $a$; cạnh bên $SA$ vuông góc với đáy; $SC$ hợp với đáy góc $45^o$. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $SC$ và $BD$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $SA\perp (ABCD)$ nên $SA\perp AC$. Tam giác $SAC$ vuông tại $A$, góc giữa $SC$ và đáy là $\widehat{SCA}=45^o$, do đó $SA=AC=a\sqrt{2}$ và $SC=\sqrt{S{A}^2+A{C}^2}=2a$.

Vì $ABCD$ là hình vuông nên $BD\perp AC$; lại có $BD\perp SA$ (vì $SA\perp (ABCD)$), suy ra $BD\perp (SAC)$. Gọi $O=AC\cap BD$ (trung điểm của $AC$). Khi đó $BD\perp SC$ tại giao điểm của $BD$ với mặt phẳng $(SAC)$ qua đường vuông góc, nên khoảng cách giữa $SC$ và $BD$ bằng khoảng cách từ $O$ đến $SC$ trong mặt phẳng $(SAC)$.

Tính bằng tọa độ trong mặt phẳng $(SAC)$: đặt $A(0,0)$, $C(a\sqrt{2},0)$, $S(0,a\sqrt{2})$, khi đó $O\left(\frac{a\sqrt{2}}{2},0\right)$. Đường thẳng $SC$: $x+y=a\sqrt{2}$, nên
$$d(O,SC)=\frac{\left|\frac{a\sqrt{2}}{2}-a\sqrt{2}\right|}{\sqrt{2}}=\frac{a}{2}.$$

Kiểm tra bằng diện tích tam giác $SOC$: đáy $OC=\frac{a\sqrt{2}}{2}$, chiều cao từ $S$ xuống đường thẳng $AC$ bằng $SA=a\sqrt{2}$ (vì $SA\perp AC$), nên $S_{SOC}=\frac{1}{2}\cdot \frac{a\sqrt{2}}{2}\cdot a\sqrt{2}=\frac{a^2}{2}$, suy ra $d=\frac{2S_{SOC}}{SC}=\frac{a^2}{2a}=\frac{a}{2}$. Hai cách tính khớp nhau.

Kết luận: $d(SC,BD)=\frac{a}{2}$.