Cho tứ diện $OABC$ có $OA,OB,OC$ đôi một vuông góc và $OB=OC=a\sqrt{6},OA=a$. Tính góc giữa hai mặt phẳng $(ABC)$ và $(OBC)$.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $M$ là trung điểm $BC$. Vì $OB=OC=a\sqrt{6}$ nên $OM\perp BC$ và $OM=\sqrt{6a^2-3a^2}=a\sqrt{3}$ (vì $BC=2a\sqrt{3}$). Do $OA\perp (OBC)$ nên $OA\perp OM$, do đó $AM\perp BC$ (cũng vì $AB=AC=a\sqrt{7}$). Giao tuyến của $(ABC)$ và $(OBC)$ là $BC$, nên góc giữa hai mặt phẳng là góc $\phi$ giữa $AM$ và $OM$: $\cos \phi =\frac{OM}{AM}=\frac{a\sqrt{3}}{\sqrt{a^2+3a^2}}=\frac{\sqrt{3}}{2}\Rightarrow \phi =30^{\circ }$.