Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thang, $\widehat{ABC}=\widehat{BAD}=90^o$, $BA=BC=a$; $AD=2a$. Cạnh bên $SA$ vuông góc với đáy. Góc tạo bởi giữa $SC$ và $(SAD)$ bằng $30^o$. Tính khoảng cách từ $A$ đến $(SCD)$.

(AI giải đề cho tôi)
Đề gốc trang 11 ghi đúng 'hình thang'; questionText không sai chính tả, ghi chú lỗi là nhầm lẫn.

Chọn hệ trục: $A(0,0,0)$, vì $\widehat{BAD}=\widehat{ABC}=90^o$ nên $BC\parallel AD$: $B(0,a,0)$, $D(2a,0,0)$, $C(a,a,0)$, $S(0,0,h)$.

Góc giữa $SC$ và $(SAD)$: mặt $(SAD)$ là mặt phẳng $y=0$, khoảng cách từ $C$ đến $(SAD)$ bằng $a$, $SC=\sqrt{a^2+a^2+h^2}$ nên $\sin 30^o=\frac{a}{\sqrt{2a^2+h^2}}=\frac{1}{2}\Rightarrow 2a^2+h^2=4a^2\Rightarrow h=a\sqrt{2}$.

Mặt phẳng $(SCD)$: với $\overrightarrow{DS}=(-2a,0,a\sqrt{2})$, $\overrightarrow{DC}=(-a,a,0)$, pháp tuyến $\vec{n}=\overrightarrow{DS}\times \overrightarrow{DC}=(-a^2\sqrt{2},-a^2\sqrt{2},-2a^2)$, suy ra $(SCD)$: $\sqrt{2}x+\sqrt{2}y+2z=2a\sqrt{2}$ (thử lại đúng với $C$, $D$, $S$).

Khoảng cách từ $A(0,0,0)$: $d=\frac{2a\sqrt{2}}{\sqrt{2+2+4}}=\frac{2a\sqrt{2}}{2\sqrt{2}}=\frac{a}{2}$.