Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) $y=\left(x^2+3x\right)(2-x)$. b) $y=x^2\sqrt{x}$ c) $y=\frac{2x-1}{4x-3}$ d) $y=\frac{2x+10}{4x-3}$

e) $y=\frac{x^2-3x+3}{x-1}$ f) $y=\frac{2x^2-4x+1}{x-3}$ g) $y=\sqrt{x-1}+\frac{1}{\sqrt{x-1}}$ h) $y={\left(\sqrt{x}-\frac{1}{\sqrt{x}}\right)}^5$

(AI giải đề cho tôi)
Câu 50 (tự luận đạo hàm):

a) $y=(x^2+3x)(2-x)=-x^3-x^2+6x\Rightarrow y^{\prime }=-3x^2-2x+6$.

b) $y=x^2\sqrt{x}=x^{5/2}\Rightarrow y^{\prime }=\frac{5}{2}{x}^{3/2}=\frac{5\sqrt{x^3}}{2}$ (với $x>0$).

c) $y^{\prime }=\frac{2(4x-3)-4(2x-1)}{(4x-3{)}^2}=\frac{8x-6-8x+4}{(4x-3{)}^2}=\frac{-2}{(4x-3{)}^2}$, $x\ne \frac{3}{4}$.

d) $y^{\prime }=\frac{2(4x-3)-4(2x+10)}{(4x-3{)}^2}=\frac{8x-6-8x-40}{(4x-3{)}^2}=\frac{-46}{(4x-3{)}^2}$, $x\ne \frac{3}{4}$.

e) Chia đa thức: $\frac{x^2-3x+3}{x-1}=x-2+\frac{1}{x-1}\Rightarrow y^{\prime }=1-\frac{1}{(x-1{)}^2}$, $x\ne 1$.

f) $\frac{2x^2-4x+1}{x-3}=2x+2+\frac{7}{x-3}$ (kiểm tra: $(x-3)(2x+2)+7=2x^2-4x+1$ đúng) $\Rightarrow y^{\prime }=2-\frac{7}{(x-3{)}^2}$, $x\ne 3$.

g) $y=(x-1{)}^{1/2}+(x-1{)}^{-1/2}$, $x>1$:
$$y^{\prime }=\frac{1}{2\sqrt{x-1}}-\frac{1}{2(x-1)\sqrt{x-1}}=\frac{x-2}{2(x-1)\sqrt{x-1}}.$$

h) Đặt $u=\sqrt{x}-\frac{1}{\sqrt{x}}$ ($x>0$), $u^{\prime }=\frac{1}{2\sqrt{x}}+\frac{1}{2x\sqrt{x}}$. Khi đó
$$y^{\prime }=5{\left(\sqrt{x}-\frac{1}{\sqrt{x}}\right)}^4\left(\frac{1}{2\sqrt{x}}+\frac{1}{2x\sqrt{x}}\right).$$

Các kết quả đã kiểm tra lại bằng quy tắc tích, thương, hợp và phép chia đa thức; tất cả đều nhất quán.