Cho hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$ có cạnh đáy bằng $a$, tâm của đáy là $O$ với $SO=\frac{a\sqrt{3}}{2}$. Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm cạnh $AD$ và $BC$. Khi đó:
Các mệnh đề sau đúng hay sai?

(AI giải đề cho tôi)
Hình chóp tứ giác đều, cạnh đáy $a$, $SO=\frac{a\sqrt{3}}{2}$; $M,N$ trung điểm $AD,BC$ nên $MN$ đi qua $O$, $MN\parallel AB$.
a) $SO\perp (ABCD)$ và $SO\subset (SMN)$ nên $(SMN)\perp (ABCD)$. Đúng.
b) $AD\perp MN$ (vì $MN\parallel AB$) và $AD\perp SO$ nên $AD\perp (SMN)$, mà $AD\subset (SAD)$, suy ra $(SAD)\perp (SMN)$. Đúng.
c) Góc giữa $(SBC)$ và $(ABCD)$ là góc $\widehat{SNO}$ với $N$ trung điểm $BC$: $\tan \widehat{SNO}=\frac{SO}{ON}=\frac{a\sqrt{3}/2}{a/2}=\sqrt{3}\Rightarrow \widehat{SNO}=60^{\circ }\ne 30^{\circ }$. Sai.
d) Tọa hóa: $S(0,0,\frac{a\sqrt{3}}{2})$, $B(-\frac{a}{2},\frac{a}{2},0)$, $C(-\frac{a}{2},-\frac{a}{2},0)$, $D(\frac{a}{2},-\frac{a}{2},0)$. Pháp tuyến $(SBC)$: $\overrightarrow{CB}\times \overrightarrow{CS}\propto (\sqrt{3},0,-1)$; pháp tuyến $(SCD)$: $\overrightarrow{CD}\times \overrightarrow{CS}\propto (0,-\sqrt{3},1)$. $\cos \phi =\frac{|-1|}{\sqrt{4}\cdot \sqrt{4}}=\frac{1}{4}\Rightarrow \phi =\arccos \frac{1}{4}\approx 75,52^{\circ }\ne 80,52^{\circ }$. Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$SO\perp (ABCD)$, $SO\subset (SMN)$ nên $(SMN)\perp (ABCD)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$AD\perp MN$ và $AD\perp SO$ nên $AD\perp (SMN)$, do đó $(SAD)\perp (SMN)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\tan \widehat{SNO}=\frac{SO}{ON}=\sqrt{3}\Rightarrow$ góc bằng $60^{\circ }$, không phải $30^{\circ }$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Tính bằng pháp tuyến: $\cos \phi =1/4\Rightarrow \phi \approx 75,52^{\circ }$, không phải $80,52^{\circ }$.