Tìm các giá trị của $x$ để biểu thức sau có nghĩa:
a) ${\log }_6(6+5x)$ ;
b) ${\log }_{1-5x}5$ ;
c) $\frac{1}{7}{\log }_3\frac{3x^2-1}{x-1}$
d) ${\log }_{x^2-4x+3}(x+5)$ .

(AI giải đề cho tôi)
Điều kiện lôgarit có nghĩa: biểu thức trong log dương; cơ số dương và khác 1.

a) ${\log }_6(6+5x)$: cần $6+5x>0\iff x>-\frac{6}{5}$. Vậy $x\in \left(-\frac{6}{5};+\infty \right)$.

b) ${\log }_{1-5x}5$: cần $1-5x>0\iff x<\frac{1}{5}$ và $1-5x\ne 1\iff x\ne 0$. Vậy $x\in \left(-\infty ;\frac{1}{5}\right)\setminus \{0\}$.

c) $\frac{1}{7}{\log }_3\frac{3x^2-1}{x-1}$: cần $\frac{3x^2-1}{x-1}>0$ (tự động $x\ne 1$). Nghiệm tử: $x=\pm \frac{1}{\sqrt{3}}$; nghiệm mẫu: $x=1$. Xét dấu:
- $x<-\frac{1}{\sqrt{3}}$: tử $+$, mẫu $-$ $\Rightarrow$ âm (loại).
- $-\frac{1}{\sqrt{3}}<x<\frac{1}{\sqrt{3}}$: tử $-$, mẫu $-$ $\Rightarrow$ dương (nhận).
- $\frac{1}{\sqrt{3}}<x<1$: tử $+$, mẫu $-$ $\Rightarrow$ âm (loại).
- $x>1$: cả tử và mẫu dương $\Rightarrow$ dương (nhận).
Tại $x=\pm \frac{1}{\sqrt{3}}$ biểu thức trong log bằng 0 nên loại. Vậy $x\in \left(-\frac{1}{\sqrt{3}};\frac{1}{\sqrt{3}}\right)\cup (1;+\infty )$.

d) ${\log }_{x^2-4x+3}(x+5)$: cần $x+5>0\iff x>-5$; $x^2-4x+3>0\iff (x-1)(x-3)>0\iff x<1$ hoặc $x>3$; và $x^2-4x+3\ne 1\iff x^2-4x+2=0\iff x=2\pm \sqrt{2}$ (cả hai đều nằm trong miền $x<1$ hoặc $x>3$ nên phải loại).
Vậy $x\in (-5;1)\cup (3;+\infty )$ và $x\ne 2-\sqrt{2}$, $x\ne 2+\sqrt{2}$.

Kiểm tra: $x=0$ (câu b) cho cơ số bằng 1 nên loại, đúng; $x=1$ (câu c, d) cho mẫu số bằng 0 / cơ số bằng 0 nên loại, đúng.