Giải các phương trình sau:
1) ${\log }_{3}x=4$. 2) $\log (x-1{)}^2=2$. 3) ${\log }_5\sqrt{x^2-3x+1}=1$.
4) ${\log }_2\left(\sqrt{x^2-x+1}+\sqrt{x+1}\right)={\log }_2(x+2)$. 5) ${\log }_3(2x+1)-{\log }_3(x-1)=1$.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 9 giải từng phương trình:
1) ${\log }_{3}x=4\Rightarrow x=3^4=81$ (thỏa $x>0$).
2) $\log (x-1{)}^2=2\Rightarrow (x-1{)}^2=100\Rightarrow x=11$ hoặc $x=-9$ (đều thỏa vì $(x-1{)}^2>0$).
3) ${\log }_5\sqrt{x^2-3x+1}=1\Rightarrow \sqrt{x^2-3x+1}=5\Rightarrow x^2-3x-24=0\Rightarrow x=\frac{3\pm \sqrt{105}}{2}$ (thay lại đều thỏa vì $x^2-3x+1=25>0$).
4) Điều kiện $x\ge -1$ và $x+2>0$ (luôn đúng khi $x\ge -1$). Phương trình tương đương $\sqrt{x^2-x+1}+\sqrt{x+1}=x+2$. Chuyển vế và bình phương: $x^2-x+1=(x+2{)}^2+(x+1)-2(x+2)\sqrt{x+1}$, suy ra $(x+2)\sqrt{x+1}=3x+2$. Bình phương: $(x+2{)}^2(x+1)=(3x+2{)}^2\Rightarrow x^3-4x^2-4x=0\Rightarrow x(x^2-4x-4)=0$, được $x=0$ hoặc $x=2\pm 2\sqrt{2}$. Thử lại với điều kiện $(x+2)\sqrt{x+1}=3x+2\ge 0$: với $x=0$: $2=2$ ✓; với $x=2+2\sqrt{2}$: hai vế cùng bằng $16,\mathrm{485...}$ ✓; với $x=2-2\sqrt{2}\approx -0,83$: vế trái $\approx 0,485>0$ còn vế phải $\approx -0,485<0$ ✗ (nghiệm ngoại lai do bình phương). Vậy $x=0$ hoặc $x=2+2\sqrt{2}$.
5) Điều kiện $x>1$. ${\log }_3\frac{2x+1}{x-1}=1\Rightarrow \frac{2x+1}{x-1}=3\Rightarrow 2x+1=3x-3\Rightarrow x=4$ (thỏa ĐK).