Cho hai hàm số $f(x)=\tan x$ và $g(x)=\cot x$.

(AI giải đề cho tôi)
Xét $f(x)=\tan x$, $g(x)=\cot x$.
a) Tại $x=\frac{\pi }{4}$: $f\left(\frac{\pi }{4}\right)+g\left(\frac{\pi }{4}\right)=1+1=2\ne 1$, nên đồ thị $y=f(x)+g(x)$ KHÔNG đi qua điểm $\left(\frac{\pi }{4};1\right)$. → Sai.
b) Đặt $h(x)=\tan x+\cot x=\frac{1}{\sin x\cos x}=\frac{2}{\sin 2x}$, tập xác định $D=\mathbb{R}\setminus \left\{\frac{k\pi }{2}\mid k\in \mathbb{Z}\right\}$ đối xứng qua gốc. Ta có $h(-x)=\tan (-x)+\cot (-x)=-\tan x-\cot x=-h(x)$, nên $h$ là hàm số lẻ, do đó đồ thị nhận gốc tọa độ $O$ làm tâm đối xứng (tâm đối xứng không nhất thiết phải thuộc đồ thị). → Đúng.
c) $\tan x=1\iff x=\frac{\pi }{4}+k\pi$. Với $x\in (0;10\pi ]$: $0<\frac{\pi }{4}+k\pi \le 10\pi \iff -\frac{1}{4}<k\le \frac{39}{4}=9,75$, tức $k\in \{0,1,\dots ,9\}$, có đúng 10 nghiệm. → Đúng.
d) $\tan x$ xác định khi $\cos x\ne 0\iff x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi$, $k\in \mathbb{Z}$. Đề bài viết $\frac{\pi }{2}+k2\pi$ (chu kỳ $2\pi$) thì thiếu các điểm $\frac{3\pi }{2}+2k\pi =\frac{\pi }{2}+(2k+1)\pi$. → Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$\tan \frac{\pi }{4}+\cot \frac{\pi }{4}=1+1=2\ne 1$ nên đồ thị không đi qua điểm $\left(\frac{\pi }{4};1\right)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$h(x)=\tan x+\cot x=\frac{2}{\sin 2x}$ thỏa $h(-x)=-h(x)$ với mọi $x$ thuộc tập xác định đối xứng qua gốc, nên $h$ là hàm lẻ và đồ thị nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\tan x=1\iff x=\frac{\pi }{4}+k\pi$; với $x\in (0;10\pi ]$ thì $k=0,1,\dots ,9$, đúng 10 nghiệm.
d) (AI giải đề cho tôi)
Tập xác định của $y=\tan x$ là $\mathbb{R}\setminus \left\{\frac{\pi }{2}+k\pi \mid k\in \mathbb{Z}\right\}$, không phải $\frac{\pi }{2}+k2\pi$ (bỏ sót các điểm $\frac{3\pi }{2}+2k\pi$).