Cho hai hình bình hành $ABCD$ và $ABEF$ không cùng nằm trong một mặt phẳng.

a) Chứng minh rằng $(AFD)\parallel (BEC)$;

b) Gọi M là trọng tâm tam giác $ABE$ và N là điểm thuộc đoạn $AC$ sao cho $AN=2NC$. Chứng minh $MN\parallel (BEC)$.

(AI giải đề cho tôi)
a) Vì $ABCD$ là hình bình hành nên $\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{AB}$; vì $ABEF$ là hình bình hành nên $\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{AB}$. Suy ra $\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{EF}$, tức $DCEF$ là hình bình hành, do đó $DF\parallel CE$.
Ta có $DF\subset (AFD)$, $DF\parallel CE\subset (BEC)$ nên $DF\parallel (BEC)$.
Tương tự $AF\subset (AFD)$, $AF\parallel BE\subset (BEC)$ nên $AF\parallel (BEC)$ (nếu $AF$ cắt $(BEC)$ thì vì $AF\parallel BE$ nên $AF\subset (BEC)$, khi đó $(AFD)=(BEC)$, mâu thuẫn với giả thiết hai hình bình hành không cùng nằm trong một mặt phẳng).
Hai đường thẳng cắt nhau $AF\cap DF=F$ cùng song song $(BEC)$, hai mặt phẳng này không trùng nhau. Vậy $(AFD)\parallel (BEC)$.

b) M là trọng tâm tam giác $ABE$ nên $\overrightarrow{AM}=\frac{1}{3}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AE}\right)$. Vì $N\in AC$, $AN=2NC$ nên $\overrightarrow{AN}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AC}$.
Do đó:
$$\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{AN}-\overrightarrow{AM}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AC}-\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}-\frac{1}{3}\overrightarrow{AE}.$$
Vì $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$ nên:
$$\overrightarrow{MN}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{2}{3}\overrightarrow{AD}-\frac{1}{3}\overrightarrow{AE}.$$
Mặt khác $\overrightarrow{EB}=\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AE}$ và $\overrightarrow{EC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AE}$, suy ra:
$$\overrightarrow{MN}=-\frac{1}{3}\overrightarrow{EB}+\frac{2}{3}\overrightarrow{EC}.$$
Vậy $\overrightarrow{MN}$ là tổ hợp tuyến tính của $\overrightarrow{EB},\overrightarrow{EC}$ (hai vectơ không đồng phẳng trong $(BEC)$), tức $\overrightarrow{MN}$ cùng phương với mặt phẳng $(BEC)$.
Hơn nữa $M\notin (BEC)$: nếu $M\in (BEC)$ thì vì $M\in (ABE)$ và $B,E\in (BEC)$, mặt phẳng $(ABE)$ trùng $(BEC)$, suy ra $A\in (BEC)$; khi đó $F\in (ABEF)=(ABE)=(BEC)$, mâu thuẫn với giả thiết hai hình bình hành không cùng nằm trong một mặt phẳng.
Do đó $MN$ không nằm trong $(BEC)$ và $\overrightarrow{MN}$ song song với $(BEC)$, suy ra $MN\parallel (BEC)$. Đpcm.