Cho hàm số $f(x)=\{\begin{array}{ll}2x+a& \text{khi }x<2\\ 4& \text{khi }x=2\\ -3x+b& \text{khi }x>2\end{array}$. Tìm $a,b$ để hàm số liên tục tại $x=2$.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm liên tục tại $x=2$ khi và chỉ khi $\underset{x\to 2^{-}}{\lim }f(x)=\underset{x\to 2^{+}}{\lim }f(x)=f(2)=4$.

Ta có:
- $\underset{x\to 2^{-}}{\lim }f(x)=\underset{x\to 2^{-}}{\lim }(2x+a)=2\cdot 2+a=4+a$.
- $\underset{x\to 2^{+}}{\lim }f(x)=\underset{x\to 2^{+}}{\lim }(-3x+b)=-3\cdot 2+b=b-6$.
- $f(2)=4$.

Để hàm số liên tục tại $x=2$ thì:
$$4+a=4\Rightarrow a=0,$$
$$b-6=4\Rightarrow b=10.$$

Vậy $a=0,b=10$. Khi đó $\underset{x\to 2^{-}}{\lim }f(x)=\underset{x\to 2^{+}}{\lim }f(x)=f(2)=4$, nên hàm số liên tục tại $x=2$.