Cho hàm đa thức $y=f(x)$ có đồ thị của hàm số $y=f^{\prime }(x)$ là đường cong trong hình vẽ bên

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị, $y=f^{\prime }(x)$ là hàm bậc ba đi qua $(-1;0)$, đạt cực đại $4$ tại $x=0$, đi qua $(1;2)$ và tiếp xúc trục hoành tại $x=2$. Suy ra $f^{\prime }(x)=(x+1)(x-2{)}^2$ (kiểm tra: $f^{\prime }(0)=4$, $f^{\prime }(1)=2$ đều đúng).

a) Trên $(0;2)$: $f^{\prime }(x)=(x+1)(x-2{)}^2>0$ nên $f$ đồng biến, không nghịch biến. → Sai.

b) $f^{\prime }(x)\ge 0$ trên $\mathbb{R}$ nên $f$ đồng biến trên $\mathbb{R}$; vì $f$ là đa thức bậc ba hệ số cao nhất dương nên $f(x)\to -\infty$ khi $x\to -\infty$, do đó $f$ không có giá trị nhỏ nhất trên $\mathbb{R}$. → Sai.

c) Đặt $g(x)=f(x-2026)-2025x+2024$, thì $g^{\prime }(x)=f^{\prime }(x-2026)-2025$. Vì $\max f^{\prime }=4$ nên $g^{\prime }(x)\le 4-2025=-2021<0$ với mọi $x$; nói riêng $g^{\prime }(2028)=f^{\prime }(2)-2025=-2025<0$. Suy ra $g^{\prime }(x)=0$ vô nghiệm, $g$ có $0$ điểm cực trị, không phải $2$. → Sai.

d) Với $t=\cos x\in [-1;1]$, phương trình $f^{\prime }(t)=3$ trở thành $(t+1)(t-2{)}^2=3\iff t^3-3t^2+1=0$. Xét $p(t)=t^3-3t^2+1$: $p(-1)=-3<0$, $p(0)=1>0$ nên có nghiệm $t_1\in (-1;0)$; $p(0)=1>0$, $p(1)=-1<0$ nên có nghiệm $t_2\in (0;1)$; nghiệm thứ ba thuộc $(2;3)$ ngoài $[-1;1]$. Với $t_1\in (-1;0)$: $\cos x=t_1$ có đúng $2$ nghiệm trong $[0;2\pi ]$ và không có nghiệm nào trong $(2\pi ;\frac{5\pi }{2}]$ (vì $\cos x\in [0;1)$ trên đoạn này). Với $t_2\in (0;1)$: $\cos x=t_2$ có $2$ nghiệm trong $[0;2\pi ]$ và thêm $1$ nghiệm trong $(2\pi ;\frac{5\pi }{2})$ (vì $\cos x$ giảm từ $1$ xuống $0$ trên đoạn này). Vậy tổng cộng phương trình có đúng $5$ nghiệm, không phải $4$. → Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }(x)=(x+1)(x-2{)}^2>0$ trên $(0;2)$ nên $f$ đồng biến trên $(0;2)$, không nghịch biến. → Sai.
b) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }(x)\ge 0$ trên $\mathbb{R}$ nên $f$ đồng biến trên $\mathbb{R}$; là đa thức bậc ba hệ số dương nên $f(x)\to -\infty$ khi $x\to -\infty$, $f$ không có min trên $\mathbb{R}$. → Sai.
c) (AI giải đề cho tôi)
$g^{\prime }(x)=f^{\prime }(x-2026)-2025\le 4-2025=-2021<0$ với mọi $x$ (vì $\max f^{\prime }=4$; chẳng hạn $g^{\prime }(2028)=-2025<0$), nên $g^{\prime }$ không có nghiệm và $g$ có $0$ điểm cực trị. → Sai.
d) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }(\cos x)=3\iff t^3-3t^2+1=0$ với $t=\cos x$, có hai nghiệm $t_1\in (-1;0)$, $t_2\in (0;1)$. $\cos x=t_1$ cho $2$ nghiệm; $\cos x=t_2$ cho $3$ nghiệm (2 trong $[0;2\pi ]$ và 1 trong $(2\pi ;\frac{5\pi }{2})$). Tổng cộng $5$ nghiệm, không phải $4$. → Sai.