Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thoi tâm $O$, $AB=4a$ và $\widehat{BAD}=120^{\circ }$. Gọi $H$ là trung điểm của $AO$. Biết $SH$ vuông góc với mặt phẳng $(ABCD)$ và $SH=a\sqrt{3}$.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ tọa độ: $A=(0;0;0)$, $B=(4a;0;0)$, $D=(-2a;2a\sqrt{3};0)$, $C=(2a;2a\sqrt{3};0)$ (vì $AC=4a$, $BD=4a\sqrt{3}$). Tâm $O=(a;a\sqrt{3};0)$, $H=(a/2;a\sqrt{3}/2;0)$, $S=(a/2;a\sqrt{3}/2;a\sqrt{3})$.

a) Mặt phẳng $(SAC)$ có phương trình $\sqrt{3}x-y=0$. Hình chiếu của $B$ lên $(SAC)$ là $O$ (không phải $H$), nên góc giữa $SB$ và $(SAC)$ là góc $\widehat{BSO}$ với $\sin =\frac{d(B,(SAC))}{SB}=\frac{4\sqrt{3}a}{4a}=\frac{\sqrt{3}}{2}$, góc bằng $60^{\circ }$. Còn $\cos \widehat{BSH}=\frac{S{B}^2+S{H}^2-B{H}^2}{2\cdot SB\cdot SH}=\frac{16a^2+3a^2-13a^2}{8\sqrt{3}{a}^2}=\frac{\sqrt{3}}{4}$, nên $\widehat{BSH}\approx 64,3^{\circ }\ne 60^{\circ }$. → Sai.

b) $S_{ABCD}=A{B}^2\sin 120^{\circ }=16a^2\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=8a^2\sqrt{3}$; $V=\frac{1}{3}\cdot 8a^2\sqrt{3}\cdot a\sqrt{3}=8a^3$. → Đúng.

c) Mặt phẳng $(SCD)$ có vectơ pháp tuyến $\vec{n}=(0;2;3)$ (tính từ $\overrightarrow{CD}\times \overrightarrow{CS}$), mặt đáy có pháp tuyến $(0;0;1)$, nên $\tan \alpha =\frac{2}{3}$. → Đúng.

d) $M=(0;2a\sqrt{3};0)$, $N=(3a;a\sqrt{3};0)$, $P=(a/4;a\sqrt{3}/4;a\sqrt{3}/2)$. $\vec{u}=\overrightarrow{PN}\propto (11;3\sqrt{3};-2)$, $\vec{v}=\overrightarrow{SM}\propto (-1;3\sqrt{3};-2)$, $\vec{u}\times \vec{v}=(0;24;36\sqrt{3})$, $|\vec{u}\times \vec{v}|=12\sqrt{31}$. Khoảng cách $d=\frac{|\overrightarrow{MS}\cdot (\vec{u}\times \vec{v})|}{|\vec{u}\times \vec{v}|}=\frac{36a(3-\sqrt{3})}{12\sqrt{31}}=\frac{3a(3-\sqrt{3})}{\sqrt{31}}\approx 0,683a\ne \frac{2a\sqrt{39}}{13}\approx 0,961a$. → Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Hình chiếu của $B$ trên $(SAC)$ là $O$ (vì $(SAC):\sqrt{3}x-y=0$), góc cần tìm là $\widehat{BSO}=60^{\circ }$, còn $\cos \widehat{BSH}=\sqrt{3}/4$ nên $\widehat{BSH}\ne 60^{\circ }$. Sai.
b) (AI giải đề cho tôi)
$V=\frac{1}{3}\cdot 8a^2\sqrt{3}\cdot a\sqrt{3}=8a^3$. Đúng.
c) (AI giải đề cho tôi)
Pháp tuyến $(SCD)$ là $(0;2;3)$, pháp tuyến đáy $(0;0;1)$, $\tan \alpha =2/3$. Đúng.
d) (AI giải đề cho tôi)
Tính bằng tích có hướng được $d=\frac{3a(3-\sqrt{3})}{\sqrt{31}}\approx 0,683a$, khác $\frac{2a\sqrt{39}}{13}\approx 0,961a$. Sai.