Cho hàm số $y=f(x)={\log }_2(2x-4)$ có tập xác định là $D$

(AI giải đề cho tôi)
Tập xác định $D=(2;+\infty )$.

a) Sai. Với $x\in D$: ${\log }_{\sqrt{2}}(2x-4)=\frac{{\log }_2(2x-4)}{{\log }_2\sqrt{2}}=2{\log }_2(2x-4)={\log }_2(2x-4{)}^2$, còn ${\log }_2\sqrt{2x-4}=\frac{1}{2}{\log }_2(2x-4)$. Hai vế không bằng nhau (ví dụ $x=3$: vế trái $=2$, vế phải $=1/2$).

b) Sai. Xét ${\log }_2(2x-4)>x-6$ với $x\in \mathbb{Z},x\ge 3$. Kiểm tra: $x=3,4,5,6,7,8,9$ đều thỏa (ví dụ $x=9$: ${\log }_{2}14\approx 3,807>3$); $x=10$: ${\log }_{2}16=4$ không lớn hơn $4$; với $x\ge 10$ bất đẳng thức không thỏa vì ${\log }_2(2x-4)$ tăng chậm hơn $x-6$. Vậy có đúng 7 số nguyên $x\in \{3,4,5,6,7,8,9\}$, không phải 5.

c) Đúng. Phương trình ${\log }_2(2x-4)=2{\log }_{2}x-2$, điều kiện $x>2$. Xét $g(x)={\log }_2(2x-4)-2{\log }_{2}x+2$; $g^{\prime }(x)=\frac{2}{\ln 2}\left(\frac{1}{2x-4}-\frac{1}{x}\right)=\frac{2(4-x)}{\ln 2\cdot x(2x-4)}$. Vậy $g$ tăng trên $(2;4)$ và giảm trên $(4;+\infty )$, đạt max $g(4)={\log }_{2}4-2{\log }_{2}4+2=0$. Suy ra $g(x)\le 0$ với dấu bằng duy nhất tại $x=4$, tức tập nghiệm là $\{4\}$.

d) Đúng. $f(3)={\log }_2(2\cdot 3-4)={\log }_{2}2=1$, nên đồ thị đi qua $M(3;1)$.
a) (AI giải đề cho tôi)
Đổi cơ số: ${\log }_{\sqrt{2}}(2x-4)=2{\log }_2(2x-4)$, còn ${\log }_2\sqrt{2x-4}=\frac{1}{2}{\log }_2(2x-4)$; hai vế không bằng nhau (ví dụ $x=3$).
b) (AI giải đề cho tôi)
Các số nguyên thỏa mãn là $x\in \{3,4,5,6,7,8,9\}$: đúng 7 số, không phải 5.
c) (AI giải đề cho tôi)
Hàm $g(x)={\log }_2(2x-4)-2{\log }_{2}x+2$ tăng trên $(2;4)$, giảm trên $(4;+\infty )$, $g(4)=0$ là giá trị lớn nhất nên nghiệm duy nhất $x=4$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$f(3)={\log }_{2}2=1$ nên đồ thị đi qua $M(3;1)$.