Cho hàm số bậc hai $y=f(x)$ có đồ thị là parabol $(P)$ và đường thẳng $d$: $y=g(x)$. Biết $d$ cắt $(P)$ tại hai điểm có tọa độ là $(3;8)$ và $(7;0)$. Hình phẳng $(H)$ giới hạn bởi parabol $(P)$ và đường thẳng $d$ có diện tích bằng $\frac{32}{3}$.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $d$ qua $(3;8)$ và $(7;0)$: $g(x)=-2x+14$. Vì $d$ cắt $(P)$ tại hai điểm đó nên $f(x)=a(x-3)(x-7)+g(x)$, tức $f(x)-g(x)=a(x-3)(x-7)$. Diện tích: ${\int }_3^7|f-g|dx=|a|\left|{\int }_3^7(x-3)(x-7)dx\right|$. Tính ${\int }_3^7(x^2-10x+21)dx=\frac{316}{3}-200+84=-\frac{32}{3}$. Suy ra $|a|\cdot \frac{32}{3}=\frac{32}{3}\Rightarrow |a|=1$. Theo hình, parabol nằm trên đường thẳng trên $[3;7]$ nên $a=-1$, do đó $f(x)=-(x-3)(x-7)-2x+14=-x^2+8x-7$.
a) Trên $[3;7]$ có $f>g$ nên ${\int }_3^7[g-f]dx=-\frac{32}{3}\ne \frac{32}{3}$ → Sai.
b) ${\int }_3^{7}fdx={\int }_3^7(f-g)dx+{\int }_3^{7}gdx=\frac{32}{3}+{\left[-x^2+14x\right]}_3^7=\frac{32}{3}+16=\frac{80}{3}$ → Đúng. (Kiểm tra trực tiếp: ${\int }_3^7(-x^2+8x-7)dx=-\frac{316}{3}+160-28=\frac{80}{3}$.)
c) ${\int }_3^7[2f^{\prime }(x)+1]dx=2[f(7)-f(3)]+4=2(0-8)+4=-12$ → Đúng.
d) $f(10)=-100+80-7=-27$ → Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Vì $f(x)>g(x)$ trên $(3;7)$ nên ${\int }_3^7[g(x)-f(x)]dx=-\frac{32}{3}$, không bằng $\frac{32}{3}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
${\int }_3^{7}fdx={\int }_3^7(f-g)dx+{\int }_3^{7}gdx=\frac{32}{3}+16=\frac{80}{3}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
${\int }_3^7[2f^{\prime }(x)+1]dx=2(f(7)-f(3))+(7-3)=2(0-8)+4=-12$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Với $f(x)=-x^2+8x-7$ thì $f(10)=-100+80-7=-27$.