Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$ có điểm $B$ nằm trên tia $Ox$, điểm $C$ nằm trên tia $Oy$, điểm $S$ nằm trên tia $Oz$ và gốc tọa độ $O$ trùng với giao điểm của hai đường chéo $AC$, $BD$ (tham khảo hình vẽ dưới đây). Biết cạnh đáy và cạnh bên của hình chóp lần lượt bằng $\sqrt{2}$ và $\sqrt{5}$.

(AI giải đề cho tôi)
Cạnh đáy $\sqrt{2}$ nên đường chéo đáy bằng 2, $O$ là tâm đáy nên $B(1;0;0)$, $C(0;1;0)$, $A(-1;0;0)$, $D(0;-1;0)$. Gọi $S(0;0;h)$, $SA=\sqrt{5}\Rightarrow 1+h^2=5\Rightarrow h=2$. a) $S(0;0;2)$: đúng. b) $SB$ qua $B(1;0;0)$, $S(0;0;2)$, VTCP $(-1;0;2)$: $x=1-t,y=0,z=2t$ đúng. c) $C,D$ nằm trên trục $Oy$ và $S$ trên trục $Oz$ nên $(SCD)$ chính là mặt phẳng $Oyz$, tức $x=0$; mặt phẳng $2x+2y+z-2=0$ không qua $D(0;-1;0)$ (thay vào được $-4\ne 0$): sai. d) Thể tích $V=\frac{1}{3}\cdot 2\cdot 2=\frac{4}{3}$; diện tích đáy $=2$; đường cao tam giác bên $=\sqrt{4+\frac{1}{2}}=\frac{3}{\sqrt{2}}$, diện tích 4 mặt bên $=4\cdot \frac{1}{2}\cdot \sqrt{2}\cdot \frac{3}{\sqrt{2}}=6$. Bán kính mặt cầu nội tiếp $r=\frac{3V}{S_{\text{tp}}}=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}$: đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Đường chéo đáy bằng 2 nên $B(1;0;0)$; $SA=\sqrt{5}\Rightarrow h=2$, vậy $S(0;0;2)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng qua $B(1;0;0)$ và $S(0;0;2)$ có VTCP $(-1;0;2)$, phương trình $x=1-t,y=0,z=2t$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$(SCD)$ chứa trục $Oy$ (qua $C,D$) và điểm $S$ trên trục $Oz$ nên là mặt phẳng $Oyz$: $x=0$. Mặt phẳng $2x+2y+z-2=0$ không qua $D$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$V=\frac{4}{3}$, tổng diện tích $=2+6=8$, nên $r=\frac{3V}{S}=\frac{1}{2}$.