Cho hàm số $f(x)=2x^2+\frac{500}{x}$. Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f^{\prime }(x)=4x-\frac{500}{x^2}=\frac{4x^3-500}{x^2}$ với $x\ne 0$.
a) $f^{\prime }(x)=0\iff x^3=125\iff x=5$. Mệnh đề đúng.
b) $\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(2x^2+\frac{500}{x}\right)=+\infty \ne 0$. Mệnh đề sai.
c) Trên $(0;5)$, $f^{\prime }(x)<0$ nên hàm số nghịch biến, giá trị nhỏ nhất không đạt được trên khoảng mở; infimum là $f(5)=2\cdot 25+100=150$ nhưng $x=5\notin (0;5)$, nên hàm số không có giá trị nhỏ nhất bằng 150 trên $(0;5)$. Mệnh đề sai.
d) Trên $(0;+\infty )$, $f$ nghịch biến trên $(0;5)$ và đồng biến trên $(5;+\infty )$ nên $\underset{(0;+\infty )}{\min }f=f(5)=150$. Mệnh đề đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }(x)=4x-\frac{500}{x^2}=0\iff x^3=125\iff x=5$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(2x^2+\frac{500}{x}\right)=+\infty$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Trên $(0;5)$ hàm nghịch biến, $x=5$ không thuộc khoảng nên không đạt min; infimum 150 không đạt được.
d) (AI giải đề cho tôi)
$f$ nghịch biến trên $(0;5)$, đồng biến trên $(5;+\infty )$, nên $\min f=f(5)=2\cdot 25+\frac{500}{5}=150$.