Cho hàm số $y=\left|x^3+3m^{2}x+2\right|$, với $m$ là tham số.

(AI giải đề cho tôi)
Xét $y=|f(x)|$ với $f(x)=x^3+3m^{2}x+2$.
a) $f$ là đa thức nên liên tục trên $[0;1]$, do đó luôn đạt GTLN và GTNN trên đoạn này với mọi $m$. Đúng.
b) Với $m=0$: $y=|x^3+2|$. Trên $[0;1]$ ta có $x^3+2>0$ nên $y=x^3+2$ đồng biến, GTNN $=y(0)=2$, còn $y(1)=3$. Vậy GTNN bằng $y(0)$, không phải $y(1)$. Sai.
c) Với $m=1$: $g(x)=x^3+3x+2$, $g^{\prime }(x)=3x^2+3>0$ nên $g$ đồng biến trên $[-2;0]$, $g(-2)=-12$, $g(0)=2$, và $g$ có nghiệm $x_0\approx -0,596$ thuộc $[-2;0]$. Do đó $y=|g(x)|$ đạt GTNN bằng $0$ tại $x_0$ (không phải tại $x=0$) và GTLN $=|g(-2)|=12$ (không phải $2$). Sai.
d) Trên $[0;1]$: $f(x)=x^3+3m^{2}x+2\ge 2>0$ nên $y=f(x)$, và $f^{\prime }(x)=3x^2+3m^2\ge 0$ nên $f$ đồng biến. Suy ra ${\max }_{[0;1]}y=f(1)=4+3m^2=5\iff m^2=\frac{1}{3}\iff m=\pm \frac{1}{\sqrt{3}}$. Tổng hai giá trị $m$ là $0\ne \frac{2}{3}$. Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$f(x)=x^3+3m^{2}x+2$ là hàm đa thức, liên tục trên đoạn $[0;1]$, nên theo định lý Weierstrass luôn đạt GTLN và GTNN trên đoạn này với mọi $m$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Với $m=0$, $y=|x^3+2|=x^3+2$ trên $[0;1]$ (vì $x^3+2>0$), đồng biến nên GTNN là $y(0)=2$, còn $y(1)=3$. GTNN không bằng $y(1)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Với $m=1$: $g(x)=x^3+3x+2$ đồng biến trên $[-2;0]$ ($g^{\prime }=3x^2+3>0$), $g(-2)=-12$, $g(0)=2$, có nghiệm $x_0\approx -0,596\in [-2;0]$. Khi đó $y=|g(x)|$ có GTNN bằng $0$ tại $x_0$ (không phải $x=0$) và GTLN bằng $12$ tại $x=-2$ (không phải $2$).
d) (AI giải đề cho tôi)
Trên $[0;1]$, $f(x)\ge 2>0$ nên $y=f(x)$, đồng biến vì $f^{\prime }(x)=3x^2+3m^2\ge 0$. Do đó ${\max }_{[0;1]}y=f(1)=4+3m^2=5\iff m=\pm \frac{1}{\sqrt{3}}$. Tổng các giá trị $m$ bằng $0$, không phải $\frac{2}{3}$.