Cho hàm số $f(x)=\frac{a{x}^2+bx+c}{x+d}$ $(a,b,c,d\in \mathbb{R})$ có bảng biến thiên như sau:

$x$	$-\infty$		0		2		4		$+\infty$
$f^{\prime }(x)$		+	0	−	|	−	0	+
$f(x)$			−1			$+\infty$			$+\infty$
		↗		↘		↘		↗
	$-\infty$			$-\infty$		7

Trong các số $a,b,c,d$ có bao nhiêu số dương?

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên, hàm số có tiệm cận đứng tại $x=2$ nên $d=-2<0$. Ta có $f(0)=\frac{c}{d}=-1\Rightarrow c=2>0$. Có $f(4)=7$: $\frac{16a+4b+2}{2}=7\Rightarrow 4a+b=3$. Ta có $f^{\prime }(x)=\frac{(2ax+b)(x+d)-(a{x}^2+bx+c)}{(x+d{)}^2}=\frac{a{x}^2+2adx+(bd-c)}{(x+d{)}^2}=\frac{a{x}^2-4ax-2b-2}{(x+d{)}^2}$. Vì $f^{\prime }(x)=0$ tại $x=0$ và $x=4$ nên $-2b-2=0\Rightarrow b=-1<0$; khi đó $4a-1=3\Rightarrow a=1>0$ (tử số là $x^2-4x$, đúng có nghiệm $0$ và $4$). Vậy $a=1>0$, $b=-1<0$, $c=2>0$, $d=-2<0$: có 2 số dương. Đáp án B, khớp với đáp án nguồn.