Cho hình lăng trụ đứng $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có đáy là hình thang cân, $AB=BC=CD=a$, $AD=2a$. Biết rằng góc giữa đường thẳng $A^{\prime }C$ và mặt phẳng $(ABCD)$ bằng $30^{\circ }$.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục: $A(0;0;0)$, $D(2a;0;0)$, $B(\frac{a}{2};\frac{a\sqrt{3}}{2};0)$, $C(\frac{3a}{2};\frac{a\sqrt{3}}{2};0)$ (đáy là hình thang cân với chiều cao $\frac{a\sqrt{3}}{2}$). Góc giữa $A^{\prime }C$ và $(ABCD)$ là góc giữa $A^{\prime }C$ và $AC$ (hình chiếu của $A^{\prime }$ là $A$), nên $\tan 30^{\circ }=\frac{A{A}^{\prime }}{AC}$ với $AC=\sqrt{3}a$ suy ra $A{A}^{\prime }=a$, tức $h=a$.

a) Hình chiếu của $A^{\prime }$ lên $(ABCD)$ là $A$ nên góc cần tìm là $\angle A^{\prime }CA$ (góc $A^{\prime }CA$), không phải $C{A}^{\prime }A$. → Sai.

b) Vectơ $\overrightarrow{A^{\prime }C}=(\frac{3a}{2};\frac{a\sqrt{3}}{2};-a)$. Mặt phẳng $(P)$ qua $B$ vuông góc $A^{\prime }C$: $\frac{3}{2}x+\frac{\sqrt{3}}{2}y-z=\frac{3a}{2}$. Tại các đỉnh: $A:0$, $A^{\prime }:-a$, $B^{\prime }:\frac{5a}{4}$ (dưới), $C:3a$, $D:3a$, $C^{\prime }:2a$, $D^{\prime }:2a$ (trên), $B$ nằm trên mặt phẳng. Mặt phẳng cắt $AD$ tại $F(a;0;0)$, cắt $A^{\prime }{D}^{\prime }$ tại $G(\frac{5a}{3};0;a)$, cắt $B^{\prime }{C}^{\prime }$ tại $I(\frac{7a}{6};\frac{a\sqrt{3}}{2};a)$. Khối chứa $A$ có tiết diện tại độ cao $z$ là phần đáy thang với $x\le \frac{2}{3}(\frac{3a}{2}+z)-\frac{y}{\sqrt{3}}$, diện tích $S(z)=\sqrt{3}a\left(\frac{a}{4}+\frac{z}{3}\right)$. Thể tích $V={\int }_0^a\sqrt{3}a\left(\frac{a}{4}+\frac{z}{3}\right)dz=\sqrt{3}a\left(\frac{a^2}{4}+\frac{a^2}{6}\right)=\frac{5\sqrt{3}}{12}{a}^3$. → Đúng.

c) $\overrightarrow{AC}=(\frac{3a}{2};\frac{a\sqrt{3}}{2};0)$, $\overrightarrow{C^{\prime }D}=\vec{D}-\overrightarrow{C^{\prime }}=(\frac{a}{2};-\frac{a\sqrt{3}}{2};-a)$. Tích vô hướng $=\frac{3a^2}{4}-\frac{3a^2}{4}+0=0$, nên góc giữa $AC$ và $C^{\prime }D$ bằng $90^{\circ }$, không phải $60^{\circ }$. → Sai.

d) Mặt phẳng $(A^{\prime }{B}^{\prime }C)$ qua $A^{\prime }(0;0;a)$, $B^{\prime }(\frac{a}{2};\frac{a\sqrt{3}}{2};a)$, $C(\frac{3a}{2};\frac{a\sqrt{3}}{2};0)$ có phương trình $-\sqrt{3}x+y-\sqrt{3}z+\sqrt{3}a=0$. Khoảng cách từ $D(2a;0;0)$: $d=\frac{|-2\sqrt{3}a+\sqrt{3}a|}{\sqrt{3+1+3}}=\frac{\sqrt{3}a}{\sqrt{7}}=\frac{a\sqrt{21}}{7}$. → Đúng.

Khớp với đáp án mã đề 221: a) Sai, b) Đúng, c) Sai, d) Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Hình chiếu của $A^{\prime }$ trên $(ABCD)$ là $A$ nên góc giữa $A^{\prime }C$ và $(ABCD)$ là $\angle A^{\prime }CA$, không phải $C{A}^{\prime }A$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Với $h=a$, mặt phẳng qua $B$ vuông góc $A^{\prime }C$ cắt $AD$ tại $F(a;0;0)$, cắt $A^{\prime }{D}^{\prime }$ tại $G(\frac{5a}{3};0;a)$, cắt $B^{\prime }{C}^{\prime }$ tại $I(\frac{7a}{6};\frac{a\sqrt{3}}{2};a)$. Thể tích khối chứa $A$: $V={\int }_0^a\sqrt{3}a(\frac{a}{4}+\frac{z}{3})dz=\frac{5\sqrt{3}}{12}{a}^3$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{C^{\prime }D}=\frac{3a^2}{4}-\frac{3a^2}{4}+0=0$ nên góc giữa $AC$ và $C^{\prime }D$ bằng $90^{\circ }$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$(A^{\prime }{B}^{\prime }C):-\sqrt{3}x+y-\sqrt{3}z+\sqrt{3}a=0$; $d(D,(A^{\prime }{B}^{\prime }C))=\frac{\sqrt{3}a}{\sqrt{7}}=\frac{a\sqrt{21}}{7}$.