Cho hàm số $f(x)=\frac{a{x}^2-x+b}{x+c}$ $(a>0)$, có đồ thị $(C)$ như hình vẽ bên dưới, biết đường tiệm cận xiên của đồ thị $(C)$ tạo với hai trục tọa độ một tam giác cân.

(AI giải đề cho tôi)
Tiệm cận đứng: $x=-1$ (nhìn hình) nên $c=1$, tập xác định $\mathbb{R}\backslash \{-1\}$ → a đúng. Chia đa thức: $f(x)=ax-(1+ac)+\frac{b+c+a{c}^2}{x+c}$, tiệm cận xiên $y=ax-(1+ac)$. Giao Ox: $x=\frac{1+ac}{a}$, giao Oy: $y=-(1+ac)$. Tam giác tạo với hai trục cân (vuông cân tại O) nên $\frac{1+ac}{a}=|1+ac|$; vì đường xiên có hệ số góc dương và cắt Oy dưới gốc (nhìn hình) nên $1+ac>0$, suy ra $a=1$ → b đúng. Với $a=c=1$: $f^{\prime }(x)=0\iff x^2+2x-1-b=0$, có 2 nghiệm khi $b>-2$, cho 2 điểm cực trị với giá trị $f=2t-3$ và $f=-2t-3$ với $t=\sqrt{2+b}$. Nhìn hình, cực tiểu nhánh phải nằm trên trục Ox nên $2t-3>0\Rightarrow t>\frac{3}{2}\Rightarrow b>\frac{1}{4}$; cực đại nhánh trái $-2t-3<0$ luôn đúng → hai cực trị nằm khác phía đối với Ox → c đúng. d) $24a+4b+2000c=24+4b+2000=2024+4b$; vì $b>\frac{1}{4}$ nên $2024+4b>2025$, mệnh đề sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Tiệm cận đứng là $x=-1$ nên $c=1$, tập xác định $\mathbb{R}\backslash \{-1\}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Tiệm cận xiên $y=ax-(1+ac)$ tạo tam giác vuông cân với hai trục nên $\frac{1+ac}{a}=1+ac$ (do $1+ac>0$ theo hình), suy ra $a=1$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }(x)=0\iff x^2+2x-1-b=0$ có 2 nghiệm ($b>\frac{1}{4}>-2$); giá trị cực trị $2t-3>0$ và $-2t-3<0$ với $t=\sqrt{2+b}>\frac{3}{2}$, nên hai điểm cực trị nằm khác phía đối với trục Ox.
d) (AI giải đề cho tôi)
$24a+4b+2000c=2024+4b$; từ hình, cực tiểu nhánh phải dương nên $b>\frac{1}{4}$, do đó $2024+4b>2025$, mệnh đề sai.