Cho hàm số $f(x)=a{x}^3+b{x}^2+cx+3(a,b,c\in \mathbb{R},a\ne 0)$ có đồ thị $(C)$. Gọi $y=g(x)$ là hàm số bậc hai có đồ thị $(P)$ đi qua gốc tọa độ. Biết hoành độ giao điểm của đồ thị $(C)$ và $(P)$ lần lượt là $-1;1;2$. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường $y=f(x)$ và $y=g(x)$ bằng

Chọn B
Xét hiệu $h(x)=f(x)-g(x)$. Vì $f(x)$ bậc 3 và $g(x)$ bậc 2 nên $h(x)$ là đa thức bậc 3 có hệ số bậc cao nhất là $a$.
Vì hoành độ giao điểm là $-1;1;2$ nên $h(x)=a(x+1)(x-1)(x-2)=a(x^2-1)(x-2)=a(x^3-2x^2-x+2)$.
Ta có hệ số tự do của $f(x)$ là 3, và $(P)$ đi qua gốc tọa độ nên hệ số tự do của $g(x)$ là 0. Do đó hệ số tự do của $h(x)$ là $3-0=3$.
Mặt khác hệ số tự do của $h(x)$ là $2a\Rightarrow 2a=3\iff a=\frac{3}{2}$.
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị là:
$S={\int }_{-1}^2|h(x)|\mathrm{d}x=\frac{3}{2}{\int }_{-1}^2|(x+1)(x-1)(x-2)|\mathrm{d}x=\frac{3}{2}\left[{\int }_{-1}^1(x^3-2x^2-x+2)\mathrm{d}x+{\int }_1^2(-x^3+2x^2+x-2)\mathrm{d}x\right]=\frac{37}{8}$.