Cho hàm số $f(x)=a{x}^3+b{x}^2+cx+d$ $(a;b;c;d\in \mathbb{R})$. Hàm số $y=f^{\prime }(x)$ có đồ thị như hình vẽ.

Ta có $f^{\prime }(x)=3a{x}^2+2bx+c$, căn cứ vào đồ thị hàm $y=f^{\prime }(x)$ ta có:
a) Đúng. Đồ thị giao với trục $Oy$ tại điểm có tung độ âm nên $c=-1<0$.
b) Đúng. Ta có $f^{\prime }(x)=3a{x}^2+2bx+c$; $f^{\prime \prime }(x)=6ax+2b$. Từ đồ thị hàm số suy ra $\{\begin{array}{l}{f}^{\prime }(0)=-1\\ f^{\prime \prime }\left(\frac{1}{3}\right)=0\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}c=-1\\ a+b=0.\end{array}$ Khi đó $f(1)-f(0)=(a+b+c+d)-d=a+b+c=-1$.
c) Sai. Đồ thị là một parabol quay bề lõm xuống nên $a<0$.
d) Sai. Ta có $f^{\prime \prime }(x)=6ax+2b=0$ mà $f^{\prime \prime }\left(\frac{1}{3}\right)=0\iff 2a+2b=0\iff a+b=0$.