Cho hàm số $f(x)=\frac{ax+b}{x+c}$, $(a,b,c\in \mathbb{R})$ có đồ thị như sau

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: tiệm cận đứng $x=1\Rightarrow -c=1\Rightarrow c=-1$; tiệm cận ngang $y=2\Rightarrow a=2$. Đồ thị đi qua điểm $(0;1)$: $f(0)=\frac{b}{c}=1\Rightarrow b=-1$. Vậy $f(x)=\frac{2x-1}{x-1}$ (kiểm tra: $f(x)-2=\frac{1}{x-1}$, nhánh trái nằm dưới $2$ và nghịch biến, cắt trục hoành tại $x=\frac{1}{2}$, khớp đồ thị).

a) $f^{\prime }(x)=\frac{2(x-1)-(2x-1)}{(x-1{)}^2}=\frac{-1}{(x-1{)}^2}<0$ với mọi $x\ne 1$ → Đúng.

b) Hàm số nghịch biến trên $(-\infty ;1)$ và $(1;+\infty )$, không đồng biến → Sai.

c) Tiệm cận đứng là $x=1$ và tiệm cận ngang là $y=2$; phát biểu đảo ngược (gọi $y=1$ là tiệm cận đứng, $x=2$ là tiệm cận ngang) → Sai.

d) $a+b+c=2+(-1)+(-1)=0$ → Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Với $a=2,b=-1,c=-1$: $f^{\prime }(x)=\frac{ac-b}{(x+c{)}^2}=\frac{-1}{(x-1{)}^2}<0$ với mọi $x\ne 1$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Vì $f^{\prime }(x)<0$ trên từng khoảng, hàm số nghịch biến (không đồng biến) trên $(-\infty ;1)$ và $(1;+\infty )$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Đồ thị có tiệm cận đứng $x=1$ và tiệm cận ngang $y=2$; phát biểu đã hoán đổi vai trò của hai đường này.
d) (AI giải đề cho tôi)
$a=2,b=-1,c=-1$ nên $a+b+c=0$.