Cho hàm số $f(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{\sqrt{2x-1}-1}{2x^2-6x+4}& \text{khi }x\ne 1\\ \frac{-7a+1}{12}& \text{khi }x=1\end{array}$ và $g(x)=\cos \frac{\pi x}{4}$. Khi đó:

(AI giải đề cho tôi)
Tính ${\lim }_{x\to 1}f(x)$: nhân liên hợp $\sqrt{2x-1}-1=\frac{2(x-1)}{\sqrt{2x-1}+1}$ và $2x^2-6x+4=2(x-1)(x-2)$, nên ${\lim }_{x\to 1}f(x)={\lim }_{x\to 1}\frac{1}{(\sqrt{2x-1}+1)(x-2)}=\frac{1}{2\cdot (-1)}=-\frac{1}{2}$. a) Với $a=1$: $f(1)=\frac{-7+1}{12}=-\frac{1}{2}$ bằng giới hạn nên $f$ liên tục tại $x_0=1$ → Đúng. b) Giới hạn bằng $-\frac{1}{2}\ne \frac{1}{2}$ → Sai. c) $f(5)=\frac{\sqrt{9}-1}{50-30+4}=\frac{2}{24}=\frac{1}{12}<1$ → Sai. d) Với $a=0$: $f(1)=\frac{1}{12}\ne -\frac{1}{2}$ nên $f$ gián đoạn tại $x_0=1$; vì $g(x)=\cos \frac{\pi x}{4}$ liên tục nên $y=f(x)+2g(x)$ vẫn gián đoạn tại $x_0=1$ → Sai. Khớp đáp án nguồn ĐSSS (mã đề 112, trang 7).
a) (AI giải đề cho tôi)
Với $a=1$, $f(1)=\frac{-6}{12}=-\frac{1}{2}={\lim }_{x\to 1}f(x)$, nên $f$ liên tục tại $x_0=1$.
b) (AI giải đề cho tôi)
${\lim }_{x\to 1}f(x)=\frac{1}{(\sqrt{2x-1}+1)(x-2)}{|}_{x=1}=-\frac{1}{2}\ne \frac{1}{2}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$f(5)=\frac{\sqrt{9}-1}{2\cdot 25-30+4}=\frac{2}{24}=\frac{1}{12}<1$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Với $a=0$, $f(1)=\frac{1}{12}\ne {\lim }_{x\to 1}f(x)=-\frac{1}{2}$ nên $f$ gián đoạn tại $x_0=1$; cộng với hàm liên tục $g$ vẫn gián đoạn.