Một cái bánh có dạng hình chóp, đáy là hình vuông (minh họa như hình vẽ). Giả sử đỉnh của bánh là $S$, đáy là hình vuông $ABCD$ tâm $O$ cạnh $5cm$, $SB=SD$. Gọi $M$ điểm tùy ý trên đoạn $AO$ với $AM=x$, $(x>0)$. Người ta cắt cái bánh bằng dao với mặt cắt là mặt phẳng $(\alpha )$ đi qua $M$, song song với $SA$ và $BD$, $(\alpha )$ cắt $SO$, $SB$, $AB$ lần lượt tại $N$, $P$, $Q$. Cho $SA=5cm$. Giả sử $x=\frac{a\sqrt{b}}{c}$ để diện tích tứ giác $MNPQ$ lớn nhất. Tính $a+b+c$.

(AI giải đề cho tôi)
Đặt hệ trục: A(0;0;0), B(5;0;0), D(0;5;0), O(2,5;2,5;0). Vì SA=SB=SD=5 nên S=(2,5;2,5;h) với h²=25−12,5 → h=5/√2=2,5√2. M trên AO với AM=x: M=(x/√2; x/√2; 0). Mặt phẳng (α) qua M song song SA (chỉ phương (1;1;√2)) và BD (chỉ phương (1;−1;0)) có phương trình X+Y−√2Z=x√2. T giao: N trên SO: Z=h−x → N=(2,5;2,5;h−x); P trên SB với s=x/h → P=(2,5+x/√2; 2,5−x/√2; h−x); Q trên AB: Q=(x√2;0;0). Kiểm tra MN∥PQ∥SA với độ dài 2(2,5−x/√2)=5−x√2; MQ∥BD với độ dài x. Diện tích MNPQ (hình bình hành) = |MQ×MN| = 2x(2,5−x/√2)=5x−√2x². Hàm số đạt max tại x=5/(2√2)=5√2/4, tức a=5, b=2, c=4 (nguyên tố cùng nhau, b không chia hết cho bình phương nào). Vậy a+b+c=11, khớp đáp án nguồn.