Tập nghiệm của bất phương trình $\frac{1}{2}{\log }_{\sqrt{3}}(x+3)+\frac{1}{2}{\log }_9(x-1{)}^4\ge 2{\log }_9(4x)$ là $S=(a;b]\cup [c;+\infty )$. Tính $T=a+2c$?

(AI giải đề cho tôi)
Điều kiện: x>0, x≠1. Đưa về cơ số 3: ½log_{√3}(x+3)=log_3(x+3); ½log_9(x-1)^4 = ¼·4log_3|x-1| = log_3|x-1|; 2log_9(4x)=log_3(4x). Bất phương trình tương đương log_3[(x+3)|x-1|] ≥ log_3(4x). Với x>1: (x+3)(x-1)≥4x ⇔ x²-2x-3≥0 ⇔ x≥3, được [3;+∞). Với 0<x<1: (x+3)(1-x)≥4x ⇔ x²+6x-3≤0 ⇔ 0<x≤2√3-3. Vậy S=(0; 2√3-3]∪[3;+∞), nên a=0, c=3, T=a+2c=6, khớp đáp án nguồn.