Cho hàm số $f(x)=\frac{x^2-2x+6}{x+1}$.

(AI giải đề cho tôi)
Xét $f(x)=\frac{x^2-2x+6}{x+1}$.
a) Điều kiện xác định: $x+1\ne 0\Rightarrow x\ne -1$, nên tập xác định là $\mathbb{R}\setminus \{-1\}$. Đúng.
b) $f^{\prime }(x)=\frac{(2x-2)(x+1)-(x^2-2x+6)}{(x+1{)}^2}=\frac{2x^2-2-x^2+2x-6}{(x+1{)}^2}=\frac{x^2+2x-8}{(x+1{)}^2}$. Đúng.
c) $f^{\prime }(x)=0\iff x=-4$ hoặc $x=2$. Xét dấu: $f^{\prime }>0$ trên $(-\infty ;-4)$, $f^{\prime }<0$ trên $(-4;-1)$ và $(-1;2)$, $f^{\prime }>0$ trên $(2;+\infty )$. Vậy hàm đạt cực đại tại $x=-4$ với $f(-4)=\frac{16+8+6}{-3}=-10$, còn $x=2$ là điểm cực tiểu với $f(2)=2$. Giá trị cực đại bằng $-10$, không phải $2$. Sai.
d) Đặt $t=x^2-2\ge -2$, $t\ne -1$ (tức $x\ne \pm 1$). $y^{\prime }=f^{\prime }(t)\cdot 2x$. Trên $(-\infty ;-1)$: $2x<0$, $t\in [-2;-1)$ nên $f^{\prime }(t)<0$ ⇒ $y^{\prime }>0$ (đồng biến). Trên $(-1;0)$: $2x<0$, $t\in (-1;2)$, $f^{\prime }(t)<0$ ⇒ $y^{\prime }>0$ (đồng biến) → tại $x=0$ không đổi dấu đạo hàm, không cực trị. Trên $(0;2)$: $y^{\prime }<0$ (nghịch biến); trên $(2;+\infty )$: $y^{\prime }>0$ → $x=2$ là điểm cực tiểu. Trên $(-2;-1)$: $2x<0$, $t\in (2;4)$, $f^{\prime }(t)>0$ ⇒ $y^{\prime }<0$ (nghịch biến); trên $(-\infty ;-2)$: $y^{\prime }>0$ → $x=-2$ là điểm cực đại. Vậy hàm số chỉ có 2 điểm cực trị ($x=\pm 2$), không phải 3. Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$x+1\ne 0\Rightarrow x\ne -1$, tập xác định là $\mathbb{R}\setminus \{-1\}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }(x)=\frac{(2x-2)(x+1)-(x^2-2x+6)}{(x+1{)}^2}=\frac{x^2+2x-8}{(x+1{)}^2}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }=0$ tại $x=-4,x=2$; hàm đạt cực đại tại $x=-4$ với giá trị $f(-4)=-10$; $x=2$ là cực tiểu với $f(2)=2$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Với $t=x^2-2$, $y^{\prime }=f^{\prime }(t)\cdot 2x$; hàm chỉ có 2 điểm cực trị $x=\pm 2$ (cực đại tại $x=-2$, cực tiểu tại $x=2$); $x=0$ không phải cực trị vì đạo hàm không đổi dấu qua $x=0$.