Cho hàm số $f(x)=\sqrt{x^3-2x^2+x+1}$. Tổng các nghiệm của phương trình $f^{\prime }(x)=0$ có dạng $\frac{a}{b}$ với $\frac{a}{b}$ là phân số tối giản. Tính $a+b$?

(AI giải đề cho tôi)
Đặt $g(x)=x^3-2x^2+x+1=x(x-1{)}^2+1$. Tập xác định: $g(x)\ge 0$. Với $x\ge 0$ thì $g(x)\ge 1>0$; với $x<0$, $g$ âm tại $x=-1$ và dương tại $x=-0.4$, nên miền xác định là $[x_0,\infty )$ với $x_0\approx -0.465$ là nghiệm duy nhất của $g(x)=0$ (vì $g^{\prime }=3x^2-4x+1>0$ khi $x<1/3$ nên $g$ tăng trên khoảng âm). Ta có $f^{\prime }(x)=\frac{g^{\prime }(x)}{2\sqrt{g(x)}}$, nên $f^{\prime }(x)=0⟺g^{\prime }(x)=0$ với $x$ trong miền xác định (lấy nội miền, $g(x)>0$). Giải $3x^2-4x+1=0⟺x=\frac{1}{3}$ hoặc $x=1$; cả hai đều thuộc miền xác định và $g(x)>0$. Tổng nghiệm $=\frac{1}{3}+1=\frac{4}{3}$, tối giản, nên $a=4,b=3$, $a+b=7$.