Cho hình hộp chữ nhật $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có $AB=3$, $BC=4$, $A{A}^{\prime }=5$. Các mệnh đề sau đây đúng hay sai?

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục: A(0,0,0), B(3,0,0), C(3,4,0), D(0,4,0), A'(0,0,5), D'(0,4,5), C'(3,4,5). a) VTCP của (AA'C'C): AC×AA' = (3,4,0)×(0,0,5) ∝ (4,-3,0); của (BDD'B'): BD×BB' = (-3,4,0)×(0,0,5) ∝ (4,3,0). Tích vô hướng 16-9=7≠0 nên hai mặt phẳng không vuông góc (vì AB·BC=12≠0, tức AC không vuông BD) → sai. b) VTCP của (A'BC): BC×BA' = (0,4,0)×(-3,0,5) ∝ (5,0,3); (ABCD) có pháp tuyến (0,0,1). cos góc giữa hai pháp tuyến = 3/√34, nên sin góc nhị diện giữa hai mặt phẳng = √(1-9/34) = 5/√34 → đúng. c) (ACD'): AC×AD' = (3,4,0)×(0,4,5) = (20,-15,12), phương trình 20x-15y+12z=0. (A'C'B): BC'×BA' = (0,4,5)×(-3,0,5) = (20,-15,12), qua B(3,0,0): 20x-15y+12z=60. Hai mặt phẳng song song, khoảng cách = 60/√(400+225+144) = 60/√769 → đúng. d) V = 3·4·5 = 60 → đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Pháp tuyến (4,-3,0) và (4,3,0) có tích vô hướng 7≠0; thực tế AC·BD = -9+16 = 7 ≠ 0 nên hai mặt phẳng không vuông góc.
b) (AI giải đề cho tôi)
Pháp tuyến (A'BC) ∝ (5,0,3), cos góc giữa hai pháp tuyến = 3/√34 nên sin góc giữa hai mặt phẳng = 5/√34.
c) (AI giải đề cho tôi)
Hai mặt phẳng song song: 20x-15y+12z=0 và 20x-15y+12z=60, khoảng cách 60/√769.
d) (AI giải đề cho tôi)
V = AB·BC·AA' = 3·4·5 = 60.