Cho hàm số $f(x)=x^3+a{x}^2+bx+c$. Nếu phương trình $f(x)=0$ có ba nghiệm phân biệt thì phương trình $2f(x)f^{\prime \prime }(x)=[f^{\prime }(x){]}^2$ có nhiều nhất bao nhiêu nghiệm?

Xét đa thức $g(x)=2f(x)f^{\prime \prime }(x)-[f^{\prime }(x){]}^2$.
Bậc của $f(x)$ là 3, bậc của $f^{\prime \prime }(x)$ là 1, nên bậc của $2f(x)f^{\prime \prime }(x)$ là $3+1=4$.
Bậc của $[f^{\prime }(x){]}^2$ là $2\times 2=4$.
Hệ số của $x^4$ trong $2f(x)f^{\prime \prime }(x)$ là $2\cdot 1\cdot 6=12$.
Hệ số của $x^4$ trong $[f^{\prime }(x){]}^2$ là $3^2=9$.
Suy ra $g(x)$ là đa thức bậc 4 có hệ số cao nhất bằng $12-9=3\ne 0$.
Một đa thức bậc 4 có nhiều nhất 4 nghiệm thực.
Vậy phương trình có nhiều nhất 4 nghiệm. Chọn B.