Cho hàm số $y=\frac{1}{3}{x}^3+m^{2}x-2m^2+2m-9$ với $m$ là tham số.

(AI giải đề cho tôi)
Với $m=1$: $y=\frac{1}{3}{x}^3+x-9$, có $y^{\prime }=x^2+1>0$ với mọi $x$ nên hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$. a) Trên $[0;3]$ hàm đồng biến nên $\min y=y(0)=-9$ → đúng. b) $\max y=y(3)=9+3-9=3$ → đúng. c) Hệ số góc tiếp tuyến $k=y^{\prime }=x^2+1\ge 1$, giá trị nhỏ nhất bằng 1 tại $x=0$ → đúng. d) ${\max }_{[0;3]}y=y(3)=9+3m^2-2m^2+2m-9=m^2+2m$. Yêu cầu $m^2+2m\le 3\iff m^2+2m-3\le 0\iff -3\le m\le 2$. Các giá trị nguyên: $\{-3,-2,-1,0,1,2\}$ có 6 phần tử, không phải 3 → sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Với $m=1$, $y=\frac{1}{3}{x}^3+x-9$ đồng biến vì $y^{\prime }=x^2+1>0$, nên ${\min }_{[0;3]}y=y(0)=-9$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Hàm đồng biến nên ${\max }_{[0;3]}y=y(3)=9+3-9=3$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Hệ số góc $k=y^{\prime }=x^2+1\ge 1$, đạt giá trị nhỏ nhất 1 tại $x=0$.
d) (AI giải đề cho tôi)
${\max }_{[0;3]}y=y(3)=m^2+2m\le 3\iff -3\le m\le 2$, có 6 giá trị nguyên $\{-3,-2,-1,0,1,2\}$, nên $|S|=6\ne 3$.