Cho hàm số $y=\frac{2x^2-2x+2}{-x+1}$ có đồ thị $(C)$.

(AI giải đề cho tôi)
Xét $y=\frac{2x^2-2x+2}{-x+1}=\frac{2x^2-2x+2}{1-x}$. Chia đa thức: $(1-x)(-2x)=2x^2-2x$, dư $2$, nên $y=-2x+\frac{2}{1-x}$.

$a)$ $y^{\prime }=-2+\frac{2}{(1-x{)}^2}$. $y^{\prime }=0\iff (1-x{)}^2=1\iff x=0$ hoặc $x=2$. Khi $x<0$ hoặc $x>2$ thì $(1-x{)}^2>1$ nên $y^{\prime }<0$: hàm nghịch biến trên $(-\infty ;0)$ và $(2;+\infty )$. Đúng.

$b)$ $y^{\prime \prime }=\frac{4}{(1-x{)}^3}$: tại $x=0$, $y^{\prime \prime }=4>0$ nên $x=0$ là điểm cực tiểu; tại $x=2$, $y^{\prime \prime }=-4<0$ nên $x=2$ là điểm cực đại. Khẳng định 'cực tiểu tại $x=2$' SAI.

$c)$ Hàm đồng biến trên $\left[\frac{3}{2};2\right]$, nghịch biến trên $\left[2;\frac{5}{2}\right]$ nên GTNN trên đoạn đạt tại một đầu mút. $y\left(\frac{3}{2}\right)=\frac{2\cdot \frac{9}{4}-3+2}{-\frac{3}{2}+1}=\frac{7/2}{-1/2}=-7$; $y\left(\frac{5}{2}\right)=\frac{2\cdot \frac{25}{4}-5+2}{-\frac{5}{2}+1}=\frac{19/2}{-3/2}=-\frac{19}{3}$. Vì $-7<-\frac{19}{3}$ nên GTNN trên đoạn bằng $-7$, không phải $-\frac{19}{3}$. SAI.

$d)$ Vì $y=-2x+\frac{2}{1-x}$ và $\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{2}{1-x}=0$ nên tiệm cận xiên là $y=-2x$, tức $2x+y=0$. Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=-2+\frac{2}{(1-x{)}^2}<0$ khi $x<0$ hoặc $x>2$, nên hàm nghịch biến trên $(-\infty ;0)$ và $(2;+\infty )$. Đúng.
b) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime \prime }=\frac{4}{(1-x{)}^3}$, tại $x=2$ có $y^{\prime \prime }=-4<0$ nên $x=2$ là điểm cực đại (cực tiểu tại $x=0$). SAI.
c) (AI giải đề cho tôi)
Hàm đồng biến trên $\left[\frac{3}{2};2\right]$, nghịch biến trên $\left[2;\frac{5}{2}\right]$ nên GTNN đạt tại đầu mút: $y\left(\frac{3}{2}\right)=-7$, $y\left(\frac{5}{2}\right)=-\frac{19}{3}$. Vì $-7<-\frac{19}{3}$ nên GTNN bằng $-7$, không phải $-\frac{19}{3}$. SAI.
d) (AI giải đề cho tôi)
$y=-2x+\frac{2}{1-x}$ nên tiệm cận xiên là $y=-2x$ tức $2x+y=0$. Đúng.