Cho hàm số $y=-\frac{2x^3}{3}+x^2+4x-2$, gọi đồ thị của hàm số là $(C)$. Viết phương trình tiếp tuyến của $(C)$ có hệ số góc lớn nhất.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $y^{\prime }=-2x^2+2x+4$. Hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm có hoành độ $x$ là $k(x)=-2x^2+2x+4$, một hàm bậc hai với $a=-2<0$ nên đạt giá trị lớn nhất tại $x=\frac{-2}{2\cdot (-2)}=\frac{1}{2}$, khi đó $k_{\max }=-2\cdot \frac{1}{4}+2\cdot \frac{1}{2}+4=\frac{9}{2}$.

Tính tung độ tiếp điểm: $y\left(\frac{1}{2}\right)=-\frac{2}{3}\cdot \frac{1}{8}+\frac{1}{4}+2-2=-\frac{1}{12}+\frac{1}{4}=\frac{1}{6}$.

Phương trình tiếp tuyến: $y=\frac{9}{2}\left(x-\frac{1}{2}\right)+\frac{1}{6}=\frac{9}{2}x-\frac{9}{4}+\frac{1}{6}=\frac{9}{2}x-\frac{25}{12}$.

Vậy tiếp tuyến có hệ số góc lớn nhất là $y=\frac{9}{2}x-\frac{25}{12}$, tiếp xúc tại điểm $\left(\frac{1}{2};\frac{1}{6}\right)$ với hệ số góc $\frac{9}{2}$.