Cho hàm số $y=\frac{2x+3}{x-1}$.
a) Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số.
b) Tìm các tiệm cận của đồ thị hàm số.
c) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn $[2;5]$.
d) Tính tổng khoảng cách từ điểm M bất kì nằm trên đồ thị hàm số đến hai đường tiệm cận của đồ thị hàm số.

(AI giải đề cho tôi)
Cho hàm số $y=\frac{2x+3}{x-1}$, tập xác định $\mathbb{R}\setminus \{1\}$.

a) Ta có $y^{\prime }=\frac{2(x-1)-(2x+3)}{(x-1{)}^2}=\frac{-5}{(x-1{)}^2}<0$ với mọi $x\ne 1$. Vậy hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng $(-\infty ;1)$ và $(1;+\infty )$ (hàm không có khoảng đồng biến).

b) Vì ${\lim }_{x\to 1^{\pm }}y=\pm \infty$ nên đồ thị có tiệm cận đứng $x=1$. Vì ${\lim }_{x\to \pm \infty }y=2$ nên đồ thị có tiệm cận ngang $y=2$.

c) Trên đoạn $[2;5]$ hàm số liên tục và nghịch biến (vì $[2;5]\subset (1;+\infty )$), nên:
- GTLN tại $x=2$: $y(2)=\frac{4+3}{2-1}=7$.
- GTNN tại $x=5$: $y(5)=\frac{10+3}{5-1}=\frac{13}{4}$.

d) Lấy $M(x_0;y_0)$ bất kỳ trên đồ thị, tức $y_0=\frac{2x_0+3}{x_0-1}$ với $x_0\ne 1$. Khoảng cách từ $M$ đến tiệm cận đứng $x=1$ là $d_1=|x_0-1|$; khoảng cách đến tiệm cận ngang $y=2$ là $d_2=|y_0-2|$. Ta có $y_0-2=\frac{2x_0+3-2(x_0-1)}{x_0-1}=\frac{5}{x_0-1}$, nên $d_2=\frac{5}{|x_0-1|}$. Do đó tổng khoảng cách $d_1+d_2=|x_0-1|+\frac{5}{|x_0-1|}\ge 2\sqrt{|x_0-1|\cdot \frac{5}{|x_0-1|}}=2\sqrt{5}$ (theo AM–GM, dấu bằng khi $|x_0-1|=\sqrt{5}$, tức $x_0=1\pm \sqrt{5}$). Vậy tổng khoảng cách từ điểm $M$ bất kỳ trên đồ thị đến hai tiệm cận luôn không nhỏ hơn $2\sqrt{5}$, và giá trị nhỏ nhất của tổng khoảng cách bằng $2\sqrt{5}$.