Cho hàm số $y=\frac{a{x}^2+bx+c}{x+d}$ có đồ thị như hình vẽ dưới đây. Biết rằng điểm $O(0;0)$ là điểm cực đại của đồ thị hàm số.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: tiệm cận đứng x=1 nên d=-1; tiệm cận xiên y=x+1 nên a=1, a+b=1 ⇒ b=0; cực đại O(0;0) ⇒ c=0. Vậy y=x²/(x−1)=x+1+1/(x−1).
a) Đúng: tiệm cận xiên y=x+1.
b) Đúng: y'=x(x−2)/(x−1)², y'=0 tại x=0 (cực đại, y=0) và x=2 (cực tiểu, y=4) ⇒ T(2;4).
c) Sai: trên (1;2) hàm số nghịch biến (y'<0), chỉ đồng biến trên (2;+∞).
d) Đúng: y'=1−1/(x−1)². Tiếp tuyến song song ⇒ x_A+x_B=2. Tính được hệ số góc AB là m=(p−2)/(p−1) với p=x_A x_B, và trung điểm AB là I(1,2) cố định. d(M,AB)=|3m+1|/√(m²+1) lớn nhất tại m=3 (khi đó d=√10). Suy ra p=1/2, x_A,x_B=1±√2/2, AB=√2·√(1+9)=2√5.
a) (AI giải đề cho tôi)
d=-1, a=1, b=0 nên y=x²/(x−1)=x+1+1/(x−1), tiệm cận xiên y=x+1.
b) (AI giải đề cho tôi)
y'=x(x−2)/(x−1)²; x=2 cho cực tiểu y=4, tức T(2;4).
c) (AI giải đề cho tôi)
Trên (1;2) có y'<0 nên hàm nghịch biến; hàm chỉ đồng biến trên (2;+∞).
d) (AI giải đề cho tôi)
Tiếp tuyến song song ⇒ x_A+x_B=2, đường AB luôn qua I(1;2). Khoảng cách từ M(4;1) lớn nhất khi m=3, suy ra x_A x_B=1/2, x_A,x_B=1±√2/2, AB=√2·√10=2√5.